Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеет вид где В части источников также допускается случай данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.
Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной и высотой Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса.
Начало последовательности прямоугольных чисел: , … ()
{| style="text-align: center" |- valign="bottom" |style="padding: 0 1em"| |style="padding: 0 1em"| |style="padding: 0 1em"| |style="padding: 0 1em"| |- |1×2||2×3||3×4||4×5
Свойства Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.
Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:
Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку ).
-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному треугольному числу и на больше квадратного числа:
Поскольку треугольное число то вдвое большее прямоугольное число равно сумме первых чётных чисел.
Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует: Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей. Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как так и Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей и Здесь уголки Айверсона округляют до целого в меньшую сторону, а — в бо́льшую.
Сумма есть квадратное число где обозначает по порядку центрированное шестиугольное число.
Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:
Применение Прямоугольное число задаёт: число недиагональных элементов квадратной матрицы ; число размещений из элементов по 2; в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, абонент).
Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:
Это следует из формулы:
Производящая функция Производящая функция последовательности прямоугольных чисел:
Примечания
Литература . .
Ссылки
Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers .
Категория:Фигурные числа