Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами и , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами и следующими выражениями:
где .
Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат получилось взаимно однозначным.
Полярные координаты — координаты произвольной точки плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус , — расстояние от полюса до точки ; полярный угол , — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой .
В этих определениях предполагается, что полюс и точка не совпадают. Полюс находится на особом положении: его полярный радиус полагается равным нулю, а полярный угол — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ).
Полярная система координат ортогональна. Ортогональные полярной системы координат составляют концентрические окружности при и лучи при .
Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты , , так и , задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты , , так и , и , задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками и ).
Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, в уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для и . Закон изменения значений полярных координат и выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину , где — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описание).
Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами и , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами и следующими выражениями:
где .
Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при и лучи при .
Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат.
История Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.
В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферыDavid A. King (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128—184 , Routledge, London and New York.
Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.
В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.
Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.
Определение полярной системы координат
Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось) — система координат на плоскости, которую определяют следующие пять объектов (см. рисунок справа с этими объектами): масштаб, то есть единица измерения длины; единица измерения плоских углов (обычно радиан); ориентация плоскости, то есть направление её вращения, которое выбрано положительным (обычно против часовой стрелки); фиксированная точка плоскости . Эта точка называется началом, или полюсом, системы координат; луч , исходящий из точки и от неё направленный (обычно горизонтальный). Этот луч называется полярной осью.
Полярные координаты — координаты произвольной точки плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: первая полярная координата, или полярный радиус , — расстояние от полюса до точки ; вторая полярная координата, или полярный угол , — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой .
Точка , имеющая полярные координаты, обозначаемые греческими буквами и , записываетсчя символом (иногда ).
В этих определениях предполагается, что полюс и точка не совпадают. Полюс находится на особом положении: его полярный радиус полагается равным нулю, а полярный угол — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ).
Раньше первой полярной координатой могли называть полярный угол , а второй — полярный радиус . Полярный радиус также могут обозначать латинской буквой , а полярный угол могут называть амплитудой, или фазой, и обозначать .
Полярная система координат ортогональна. Ортогональные полярной системы координат суть концентрические окружности при и лучи при .
Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты , , так и , задают одну и ту же точку плоскости . Как полярные координаты , , так и , и , задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками).
Каждой паре значений полярных координат и соответствует только одна точка плоскости, но одной и той же точке плоскости соответствует бесконечное множество значений полярного угла , отличающихся друг от друга на число, кратное (см. пример 1).
Как правило, полагают, что значения полярных координат и точек плоскости, отличных от полюса, лежат в следующих границах:
(иногда ).
Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат получилось взаимно однозначным.
Главное значение полярного угла — значение полярного угла , при котором получается взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат. Как правило, это значения (иногда используются значения ).
Примеры главных значений полярных углов. Точке плоскости из предыдущего примера отвечают полярные координаты , , где есть целое число, при этом главное значение полярного угла . Точке плоскости из примера 1 отвечают полярные координаты , , при этом главное значение полярного угла .
Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для и . Закон изменения значений полярных координат и выясняется в каждом конкретном случае. Например (имеется более подробное описание): при вращении некоторой точки по окружности в обе стороны (когда ) естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать значения, большие или меньшие нуля; при движении точки по прямой, проходящей через полюс (когда ), естественно считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак.
Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами и , которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами и следующими выражениями:
где .
Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при и лучи при .
Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат.
Связь полярных и декартовых координат Соответствие полярной и декартовой систем координат Иногда приходится одновременно использовать и полярную и декартову системы координат. в такой ситуации появляются две задачи: по полярным координата некоторой точки определить её декартовы координаты, и наоборот. Решим эти две задачи в частном случае, когда полярная и декартова системы координат связаны определённым образом.
Если на плоскости задана некоторая полярная система координат, то тем самым задана и следующая строго определённая декартова система координат, и наоборот.
Декартова система координат, определённая данной полярной — система координат, определённая следующим образом: масштаб декартовой системы равен масштабу полярной; начало декартовой системы совпадает с началом полярной ; положительная полуось абсцисс декартовой системы совпадает с полярной осью ; ориентация декартовой системы совпадает с ориентацией полярной; ось ординат декартовой системы совпадает с её осью абсцисс , повёрнутой на угол в положительном направлении.
Полярная система координат, определённая данной декартовой — система координат, определённая следующим образом: масштаб полярной системы равен масштабу декартовой; начало полярной системы совпадает с началом декартовой ; полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс декартовой системы; ориентация полярной системы совпадает с ориентацией декартовой; полярная ось , повёрнутая на угол в положительном направлении, совпадает с положительной полуосью ординат декартовой системы.
Если для данной декартовой системы координат построить определённую ею полярную, а потом для этой полярной системы координат построить определённую ею декартову, то получится исходная декартова система координат. И наоборот.
В итоге получаем следующую теорему.