Замеча́тельные преде́лы — в советских и российских учебниках по математическому анализу два широко известных математических тождества со взятием предела:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
Доказательство:
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Рассмотрим случай . Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью . Пусть — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка — с касательной к этой окружности в точке . Точка — проекция точки на ось .
Очевидно, что: (1) (где — площадь сектора )
Поскольку :
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия:
Второй замечательный предел
Доказательство существования второго замечательного предела:
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x. Отсюда следует: , поэтому . Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
. По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов . 2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда
.
Очевидно, из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
Применение Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.
См. также Список пределов
Литература
Ссылки Замечательные пределы на Wikia science Математика
Категория:Пределы