Полупряма́я, или открытый луч, — множество всех точек прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой от некоторой точки на этой прямой (и не совпадают с ), другими словами, полупрямая — одна из двух частей, на которые делится прямая её произвольной точкой . Точка определяет полупрямую и является границей полупрямой.

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупряма́я, — полупрямая, включающая свою границу, также называемую началом луча (луч выходит из этой точки). Конец у луча (полупрямой) отсутствует.

Полупрямая и луч отличаются друг от друга только включением своей границы (полупрямая её не включает, в отличие от луча). В устаревшей трактовке замкнутый луч также называли «полупрямой».

Полупрямая и луч — два вида бесконечных промежутков числовой прямой. Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году.

Как правило, луч (полупрямую) обозначают строчной латинской буквой, например , или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых — граница, а вторая — произвольная точка на полупрямой, например .

В рамках этой статьи определения «луч» и «полупрямая» взаимозаменяемы, за исключением случаев, когда указано обратное.

Свойства

Для любого неотрицательного (в случае полупрямой, положительного) числа на заданном луче с началом существует единственная точка , находящаяся на расстоянии от точки .

Дополнительный луч Произвольная точка на прямой делит её на две полупрямых — на прямой существуют точки и , отличные от точки , такие, что разные полупрямые, которым принадлежат эти точки, покрывают с точкой всю прямую и имеют своими границами точку . Для каждого из двух таких лучей второй называется дополнительным лучом и обозначается .

Две точки и на одной прямой лежат на одном и том же луче с границей тогда и только тогда, когда , и лежат на дополнительных друг к другу лучах, когда .

Сонаправленные лучи

Два луча на прямой и , направленные в одну сторону, называются сонаправленными и обозначаются ; противоположно направленные лучи обозначаются . Более формально, пересечение сонаправленных лучей — также луч, пересечение противоположно направленных — отрезок (в случае полупрямой, интервал). Один из двух сонаправленных лучей на прямой всегда является подмножеством другого.

На плоскости сонаправленные и противоположно направленные лучи определяются как лежащие на параллельных прямых и также направленные в одну или противоположные стороны; сонаправленные лучи принадлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через их границы, а противоположно направленные — двум различным.

Из сонаправленности лучей следует противоположная направленность лучей .

Два луча противоположно направлены тогда и только тогда, когда они центрально симметричны относительно некоторой точки.

Свойство сонаправленности является транзитивным — если два луча одновременно сонаправлены третьему лучу, то они сонаправлены друг другу. Сонаправленность также является симметричным и рефлексивным отношением (следовательно, является отношением эквивалентности), а свойство противоположной направленности — симметричным и антирефлексивным.

Примечания

Литература

Дополнительная литература

Категория:Геометрические фигуры