Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.
Уравнения эвольвенты окружности Параметрические уравнения эвольвенты окружности следующие:
на комплексной плоскости уравнения упрощаются:
где — радиус окружности; — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности).
Натуральное уравнение эвольвенты окружности, то есть зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид:
Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру Имеется окружность диаметра с центром в точке . Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.
Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле где — диаметр окружности, — число частей, на которое разделена окружность.
Получив ряд точек эвольвенты, соединяем их плавной линией.
В данном случае окружность диаметра является эволютой к этой эвольвенте.
См. также Эвольвента Эвольвентное зацепление Зубчатая передача
Ссылки и примечания
Литература
Категория:Кривые