Возвра́тное состоя́ние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз.
Определение Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем . Пусть
— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него ровно за шагов. Тогда
— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него (за конечное или бесконечное время).
Состояние называется возвра́тным (рекурре́нтным), если . В противном случае состояние называется невозвра́тным (транзие́нтным).
Критерий возвратности Состояние является возвратным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий: , где . .
Соответственно, состояние невозвратно тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий:
. .
Время возвращения Предположим, что почти всюду, и определим случайную величину , равную времени первого возвращения в состояние , то есть .
Тогда имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности .
Возвратное состояние называется положи́тельным, если , и нулевы́м, если .
Возвратность неразложимого класса Если состояния и сообщаются, и — возвратно, то состояние также возвратно. Более того если состояние положительно, то и состояние также положительно.
Таким образом возвратность и положительность — свойство неразложимого класса. Если Марковская цепь неразложима, то говорят о её возвратности и положительности.
Примечания
Категория:Марковские процессы