Геронов треугольник — треугольник, стороны и площадь которого являются целыми числами. Героновы треугольники названы в честь греческого математика Герона. Термин иногда понимается несколько шире и распространяется на треугольники, имеющие рациональные стороны и площадь.
Свойства Все прямоугольные треугольники, стороны которых образуют пифагоровы тройки, являются героновыми, поскольку стороны их по определению целочисленны, а площадь тоже целочисленна, поскольку является половиной произведения катетов, один из которых обязательно имеет чётную длину.
В качестве примера геронова треугольника, не имеющего прямого угла, можно привести равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается путём объединения двух прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 вдоль стороны длиной 4. Этот подход работает и в общем случае, как показано на рисунке справа. Берётся пифагорова тройка (a, b, c), где c — наибольшая сторона, затем другая тройка (a, d, e), в которой наибольшей стороной будет e, строятся треугольники по заданным длинам сторон и объединяются вдоль стороны с длиной a, получая треугольник со сторонами c, e и b + d и площадью
(половина произведения основания на высоту).
Если a чётно, то площадь будет целым числом. Менее очевиден случай, когда a нечётно, но и в этом случае A остаётся целым, поскольку стороны b и d должны быть чётными числами, а следовательно, b+d тоже будет чётным.
Некоторые героновы треугольники невозможно получить объединением прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами методом, описанным выше. Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников. Такие героновы треугольники называются неразложимыми. Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, отказавшись от целочисленности, то разбиение на два прямоугольных треугольника с рациональными сторонами всегда существует, поскольку все высоты геронова треугольника являются рациональными числами (поскольку высота равна удвоенной площади, делённой на основание, и оба эти числа являются целыми). Так, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 можно получить из рациональных пифагоровых треугольников со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Заметим, что рациональные пифагоровы тройки являются просто версиями целочисленных пифагоровых троек, поделённых на целое число.
Другие свойства героновых треугольников можно найти в статье Целочисленный треугольник#Героновы треугольники.
Точная формула для героновых треугольников Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям
Полупериметр Площадь Радиус вписанной окружности
для целых m, n и k, где
.
Коэффициент пропорциональности в общем случае является рациональным числом , где приводит полученный геронов треугольник к примитивному, а растягивает его до требуемых размеров. Например, взяв m = 36, n = 4 и k = 3, получим треугольник со сторонами a = 5220, b = 900 и c = 5400, который подобен геронову треугольнику 5, 29, 30, и коэффициент пропорциональности имеет числитель p = 1 и знаменатель q = 180.
См. также Героновы треугольники с одним углом, вдвое большим другого, Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии и Равнобедренные героновы треугольники.
Примеры Список примитивных целочисленных героновых треугольников, отсортированный по площади и, в случае равенства площадей, по периметру. «Примитивный» означает, что наибольший общий делитель трёх длин сторон равен 1. Площадь Периметр Длины сторон 6 12 5 4 3 12 16 6 5 5 12 18 8 5 5 24 32 15 13 4 30 30 13 12 5 36 36 17 10 9 36 54 26 25 3 42 42 20 15 7 60 36 13 13 10 60 40 17 15 8 60 50 24 13 13 60 60 29 25 6 66 44 20 13 11 72 64 30 29 5 84 42 15 14 13 84 48 21 17 10 84 56 25 24 7 84 72 35 29 8 90 54 25 17 12 90 108 53 51 4 114 76 37 20 19 120 50 17 17 16 120 64 30 17 17 120 80 39 25 16 126 54 21 20 13 126 84 41 28 15 126 108 52 51 5 132 66 30 25 11 156 78 37 26 15 156 104 51 40 13 168 64 25 25 14 168 84 39 35 10 168 98 48 25 25 180 80 37 30 13 180 90 41 40 9 198 132 65 55 12 204 68 26 25 17 210 70 29 21 20 210 70 28 25 17 210 84 39 28 17 210 84 37 35 12 210 140 68 65 7 210 300 149 148 3 216 162 80 73 9 234 108 52 41 15 240 90 40 37 13 252 84 35 34 15 252 98 45 40 13 252 144 70 65 9 264 96 44 37 15 264 132 65 34 33 270 108 52 29 27 288 162 80 65 17 300 150 74 51 25 300 250 123 122 5 306 108 51 37 20 330 100 44 39 17 330 110 52 33 25 330 132 61 60 11 330 220 109 100 11 336 98 41 40 17 336 112 53 35 24 336 128 61 52 15 336 392 195 193 4 360 90 36 29 25 360 100 41 41 18 360 162 80 41 41 390 156 75 68 13 396 176 87 55 34 396 198 97 90 11 396 242 120 109 13
Героновы треугольники особого вида Сравнимые треугольники Фигура называется , если площадь равна периметру. Имеется ровно пять сравнимых героновых треугольников — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17)
Почти равносторонние героновы треугольники Поскольку площадь правильного треугольника с рациональными сторонами является числом иррациональным, никакой равносторонний треугольник не может быть героновым. Однако существует последовательность героновых треугольников, которые «почти правильные», поскольку их стороны имеют вид n − 1, n, n + 1. Несколько первых примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в таблице ниже (). Длина стороны Площадь Радиус вписанной n − 1 n n + 1 3 4 5 6 1 13 14 15 84 4 51 52 53 1170 15 193 194 195 16296 56 723 724 725 226974 209 2701 2702 2703 3161340 780 10083 10084 10085 44031786 2911 37633 37634 37635 613283664 10864
Следующее значение для n можно найти, умножив предыдущее на 4, а затем вычтя значение, ему предшествующее (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, и т. д.). Таким образом,
,
где t означает номер строки в таблице. Эта последовательность является последовательностью Люка. Можно также получить эту последовательность по формуле для всех n. Если положить A = площадь, а y = радиус вписанной окружности, то
,
где {n, y} являются решениями уравнения n2 − 12y2 = 4. Небольшая подстановка n = 2x даёт известное уравнение Пелля x2 − 3y2 = 1, решения которого можно получить из разложения √3 в непрерывную дробь
Переменная n имеет вид , где k равно 7, 97, 1351, 18817, …. Числа в этой последовательности имеют свойство, что k последовательных целых имеют целочисленное среднеквадратическое отклонение.Online Encyclopedia of Integer Sequences, .
С рациональными медианами Существуют героновы треугольники, в которых две медианы также имеют рациональные длины. Бесконечное семейство таких треугольников порождается парой , что было сначала замечено эмпирически и лишь затем строго доказано. На 2022 год известно также несколько примеров, не относящихся к этому бесконечному семейству.
См. также
Прямоугольный треугольник Пятиугольник Роббинса Треугольник Целочисленный треугольник
Примечания
Ссылки
Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Арифметические проблемы планиметрии Категория:Виды треугольников