Сопряжённые функторы

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Функторы и сопряжены, если существует естественная биекция . Тогда называется левым сопряжённым функтором, а  — правым.

Мотивировка Сопряжённые функторы — один из ключевых инструментов теории категорий, многие примечательные математические конструкции могут быть описаны как сопряжённые функторы. В результате из общих теорем о сопряжённых функторах, таких как эквивалентность различных определений, и из того факта, что правые сопряжённые функторы коммутируют с пределами (а левые — с копределами), могут немедленно следовать доказательства многих интересных результатов.

Решение оптимизационной задачи Можно сказать, что сопряжённый функтор — это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. Например, элементарная проблема из теории колец — как превратить псевдокольцо (то есть кольцо, которое может не иметь мультипликативной единицы) в кольцо. Наиболее эффективный способ это сделать — добавить в кольцо единицу, все элементы, необходимые для выполнения аксиом кольца (например, элементы типа , где  — элемент кольца) и не предполагать никаких соотношений в новом кольце, которые не необходимы для выполнения аксиом. Эта конструкция стандартна в том смысле, что она работает для любого псевдокольца.

Приведенное выше описание очень расплывчато, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция «наиболее эффективна», если она удовлетворяет универсальному свойству, и «стандартна» в том смысле, что она задаёт функтор. Универсальные свойства делятся на начальные и терминальные, так как эти понятия двойственны, достаточно рассмотреть одно из них.

Идея использования начального свойства состоит в том, чтобы сформулировать проблему в терминах такой вспомогательной категории , чтобы осталось лишь найти начальный объект . Такая формулировка имеет то преимущество, что задача «нахождения наиболее эффективного решения» становится вполне строгой и в каком-то смысле сходной с задачей нахождения экстремума. Для выбора правильной категории иногда требуется подбирать непростые приёмы: в случае полукольца нужная категория — это категория, объекты которой — гомоморфизмы полуколец , где  — некоторое кольцо с единицей. Морфизмы в между и  — коммутативные треугольники вида , где  — гомоморфизм колец. Существование морфизма между и означает, что  — не менее эффективное решение проблемы, чем имеет больше добавленных элементов и (или) больше соотношений между ними, чем .

Сказать, что этот метод определяет «наиболее эффективное» и «стандартное» решение проблемы — то же самое, что сказать, что он задает сопряжённые функторы.

Формальные определения Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов. Их эквивалентность элементарна, но не тривиальна.

Определение с помощью универсальной стрелки легко сформулировать, оно также наиболее близко к нашей интуиции по поводу «оптимизационной задачи».

Определение с помощью единицы и коединицы удобно для функторов, часто встречающихся в алгебре, потому что предоставляет формулы, которые можно проверить напрямую.

Определение с помощью множеств делает очевидной симметричность определения и проясняет причины для именования функторов «сопряжёнными».

Универсальная стрелка Функтор  — левый сопряжённый функтор, если для каждого объекта категории существует терминальная стрелка из в . Если для каждого в мы выберем объект в , для которого определена терминальная стрелка , то существует единственный функтор , такой, что и для любого морфизма в категории выполняется ; тогда называют левым сопряжённым к функтору .

Функтор  — правый сопряжённый функтор, если для каждого объекта категории существует начальная стрелка из в . Если для каждого в выбрать объект в , такой, что определена начальная стрелка из в , то существует единственный функтор , такой, что и для  — морфизма в ; тогда называют правым сопряжённым к функтору .

Как и подразумевает терминология, верно, что  — левый сопряжённый для тогда и только тогда, когда  — правый сопряжённый для . Однако это не очевидно из определения через универсальную стрелку, но очевидно благодаря определению через единицу и коединицу.

Единица и коединица Для задания единицы и коединицы в категориях и нужно зафиксировать два функтора и два естественных преобразования: , называемых соответственно коединицей и единицей сопряжения, таких, что композиции и

являются тождественными преобразованиями и функторов и соответственно.

В такой ситуации является левым сопряжённым для и является правым сопряжённым для . Иногда это отношение обозначают или просто .

В форме уравнений приведённые выше условия на называются уравнениями коединицы и единицы:

Определение через функтор Hom Рассмотрим два функтора и . Пусть существует естественный изоморфизм: . Это определяет семейство биекций: . для всех объектов в и в .

Здесь называется левым сопряжённым для и  — правым сопряжённым для .

Чтобы понять, что подразумевается под естественностью , нужно объяснить, каким образом и являются функторами. На самом деле, они оба являются бифункторами из в . В явном виде естественность означает, что для всех морфизмов в и морфизмов в следующая диаграмма коммутирует:

Примеры

Свободные группы Конструкция свободной группы является удобным примером для прояснения сути определений. Пусть  — функтор, который множеству сопоставляет свободную группу, порожденную элементами , и  — забывающий функтор, сопоставляющий группе её множество-носитель. Тогда  — левый сопряжённый для :

Терминальные стрелки: для каждой группы , группа  — свободная группа, порождённая элементами как множеством. Пусть  — гомоморфизм групп, который переводит образующие в соответствующие элементы . Тогда  — терминальный морфизм из в , потому что любой гомоморфизм из свободной группы в проносится через при помощи единственной функции из множества во множество . Это означает, что  — пара сопряжённых функторов.

Множества Hom: отображения из свободной группы в группу однозначно соответствуют отображениям множества во множество : каждый гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на образующих свободной группы. Прямым вычислением можно проверить, что это соответствие — естественное преобразование, а значит, пара сопряжённая.

Дальнейшие примеры из алгебры Все  — результаты применения свободного функтора, который является левым сопряжённым для забывающего функтора. Произведения, ядра и уравнители — примеры категорных пределов. Все функторы предела являются правыми сопряжёнными к диагональному функтору. Аналогично, копроизведения, коядра и коуравнители являются копределами, а функтор копредела — левый сопряжённый для диагонального. Добавление единицы в псевдокольцо (пример из раздела «Мотивировка»). Если нам дано псевдокольцо , то соответствующее ему кольцо — это произведение , на котором определено -билинейное произведение по формуле . Построенный функтор сопряжён слева к забывающему функтору, отправляющему кольцо в соответствующее ему псевдокольцо. Расширения колец. Пусть и  — кольца, и  — гомоморфизм колец. Тогда можно рассматривать как (левый) -модуль, и тензорное произведение с определяет функтор . Здесь  сопряжён слева к забывающему функтору . Тензорные произведения. Если  — кольцо и  — правый -модуль, то тензорное произведение с определяет функтор . Функтор , определенный как сопряжён справа к . Поле частных. Для категории целостных колец и инъективных гомоморфизмов, забывающий функтор имеет левый сопряжённый, сопоставляющий каждому целостному кольцу его поле частных. Кольца многочленов'. Для  — категории коммутативных колец с отмеченным элементом и гомоморфизмов, сохраняющих отмеченный элемент, забывающий функтор имеет левый сопряжённый — он сопоставляет кольцу пару , где  — кольцо многочленов с коэффициентами из . Абелианизация. Забывающий функтор имеет левый сопряжённый, называемый функтором абелианизации, который каждой группе сопоставляет факторгруппу по коммутанту: .

Примеры из топологии Функтор с двумя сопряжёнными. Пусть  — функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель (то есть забывающий топологию). У есть левый сопряжённый , наделяющий множества дискретной топологией, и правый сопряжённый , наделяющий множества тривиальной топологией. Надстройка и пространства петель. По данным топологическим пространствам и можно построить пространство классов гомотопии отображений из надстройки в . Оно естественным образом изоморфно пространству классов гомотопии отображений из в пространство петель , поэтому функторы надстройки и пространства петель сопряжены в гомотопической категории топологических пространств. Вложение категории компактных хаусдорфовых пространств в категорию топологических пространств имеет левый сопряжённый функтор  — компактификацию Стоуна — Чеха. Коединица этой пары задаёт непрерывное отображение из произвольного топологического пространства в его компактификацию. Это отображение является вложением тогда и только тогда, когда  — вполне регулярное пространство.

Свойства

Существование

Не каждый функтор имеет левый или правый сопряжённый. Если  — полная категория, то по теореме о сопряжённых функторах Петера Фрейда имеет левый сопряжённый тогда и только тогда, когда для любого из категории существует семейство морфизмов: ,

где индексы пробегают множество , такое, что любой морфизм:

может быть записан как:

для некоторого в и некоторого морфизма: .

Аналогичное утверждение характеризует функторы, имеющие правый сопряжённый.

Единственность Если функтор имеет два правых сопряжённых и , то и естественно изоморфны.

В другую сторону, если сопряжён слева к , и естественно изоморфен , то также сопряжён слева к .

Композиция Композиции сопряжений можно брать естественным образом. Если  — сопряжение между и , и  — сопряжение между и , то функтор

сопряжён слева к функтору .

Можно образовать категорию, объекты которой — все малые категории, а морфизмы — сопряжения.

Коммутирование с пределами Наиболее важное свойство сопряжённых функторов — их непрерывность: каждый функтор, имеющий левый сопряжённый (то есть являющийся правым сопряжённым), коммутирует с пределами в категорном смысле. Соответственно, функтор, имеющий правый сопряжённый, конепрерывен, то есть коммутирует с копределами. Поскольку многие конструкции являются пределами или копределами, из этого сразу вытекает несколько следствий. Например: Применение правого сопряжённого функтора к произведению даёт произведение образов. Применение левого сопряжённого функтора к копроизведению даёт копроизведение образов. Каждый правый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен слева. Каждый левый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен справа.

Примечания

Литература

Категория:Теория категорий