В линейной алгебре матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.

История Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: «Предположим, что — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?» Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина интервала .

Свойства Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.

Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.

Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши. Определитель матрицы Гильберта n × n равен

где

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность в OEIS). Он следует из равенства

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

где an сходится к константе при , где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.

Матрица, обратная к матрице Гильберта, может быть выражена в явном виде через биномиальные коэффициенты:

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы — целые числа.

Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как .

Ссылки

. Перепечатано в

Категория:Типы матриц Категория:Численные методы линейной алгебры