Подобъект в теории категорий — объект, который содержится в другом объекте категории в смысле, обобщающем понятия теоритико-множественного подмножества и универсально-алгебраической подалгебры.
Поскольку теория категорий оперирует объектами не углубляясь во внутреннее строение, то понятие определяется посредством морфизмов, а не элементов — подобъекты объекта некоторой категории вводятся как классы эквивалентности на множестве мономорфизмов с образом в , определяемой следующим образом: пара морфизмов и эквивалентны, если и , где отношение предпорядка (« пропускается через ») определяется как существование морфизма такого, что . Мономорфизмы с образом и отношением образуют предпорядок, но определение гарантирует, что подобъекты образуют частично упорядоченное множество.
В категории множеств подобъекты соответствуют подмножествам , или, точнее, классу всех вложений множеств, равномощных данному, в данное подмножество. То же верно в большинстве категорий общеалгебраических структур: подобъекты являются подгруппами в категории групп, подкольцами в категории колец, подмодулями в категории модулей. Однако понятия подобъекта и подпространства в категории топологических пространств не совпадают.
Двойственное понятие — факторобъект; то есть чтобы получить определение факторобъекта, достаточно заменить в определении «мономорфизм» на «эпиморфизм» и поменять направление всех морфизмов.
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий