Коуравнитель — теоретико-категорное обобщение понятия фактора по отношению эквивалентности. Это понятие двойственно к понятию уравнителя, отсюда и название.
Определение Коуравнитель — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов — и , и двух параллельных морфизмов , .
Более явно, коуравнитель — это объект вместе с морфизмом , таким что . Более того, пара обладает универсальным свойством: для любой другой пары с тем же свойством существует единственный морфизм , замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:
Как и любые универсальные конструкции, коуравнитель, если существует, определен с точностью до изоморфизма. Можно показать, что коуравнитель является эпиморфизмом в любой категории.
Примеры В категории множеств коуравнитель двух функций — это фактор по наиболее слабому отношению эквивалентности , такому что для любого , верно . В категории групп ситуация очень похожа: если — гомоморфизмы групп, их коуравнитель — это фактор по нормальному замыканию множества: . Для абелевых групп коуравнитель особенно прост. Это просто факторгруппа (коядро морфизма ). В категории топологических пространств окружность можно рассматривать как коуравнитель двух вложений стандартного 0-мерного симплекса в стандартный 1-мерный симплекс. Коуравнители могут быть довольно большими: существует ровно два функтора из категории 1 с одним объектом и одним морфизмом, в категорию 2 с двумя объектами и ровно одним нетождественным морфизмом. Коуравнитель этих функторов — моноид натуральных чисел по сложению, рассматриваемый как категория из одного элемента. Это показывает, что хотя каждый коуравнитель эпиморфен, он не обязательно сюръективен.
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)