В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.
Определение Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B определены следующие два функтора: Hom(A,-) : C → SetHom(-,B) : C → SetЭто ковариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(A,-) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(A, X) Hom(A,-) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y), задаваемую как для каждого g в Hom(A, X).Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(-,B) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(X, B) Hom(-,B) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B), задаваемую как для каждого g в Hom(Y, B). Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B.
Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор Hom(-,-) : Cop × C → Set где Cop — двойственная категория к C.
Внутренний функтор Hom В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают
Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. В замкнутой категории
где I — единица замкнутой категории. В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма
где — это .
Связанные определения Функтор вида Hom(-, C) : Cop → Set является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком. Функтор F : C → Set, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором. Hom(-, -) : Cop × C → Set является профунктором, а именно, тождественным профунктором . Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, переводит пределы в пределы, а — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела. Функтор Hom — пример точного слева функтора.
См. также Лемма Йонеды Категория функторов
Примечания С. Маклейн. Категории для работающего математика, — : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — : Мир, 1983. — 487 с.
Категория:Теория категорий