Радикал идеала — идеал коммутативного кольца , образованный всеми элементами такими, что их некоторая степень принадлежит заданному идеалу . Стандартное обозначение — . Радикальный идеал — идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.
Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала — прообраз нильрадикала при отображении факторизации. Это также доказывает, что является идеалом.
В кольце целых чисел радикал главного идеала — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей . Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен). В любом коммутативном кольце для простого идеала . В частности, каждый простой идеал радикален.
Операция взятия радикала идемпотентна: . Более того, — это наименьший радикальный идеал, содержащий .
Радикал — это пересечение всех простых идеалов, содержащих . В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.
Основная мотивация для изучения радикалов — использование в общей формулировке теоремы Гильберта о нулях — одного из центральных результатов коммутативной алгебры: для любого алгебраически замкнутого поля и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от переменных над полем верно , где и .
Некоммутативное обобщение радикального идеала — полупервичный идеал, определяемый как (левый, правый, двусторонний) идеал, не содержащий ненулевых нильпотентных (левых, правых, двусторонних) идеалов.
Примечания
Литература
Категория:Коммутативная алгебра