Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее:
Если — различные алгебраические числа, линейно независимые над , то являются алгебраически независимыми над , то есть, степень трансцендентности расширения равна
Часто используется другая эквивалентная формулировка. Chapter 1, Theorem 1.4.:
Для любых различных алгебраических чисел числа являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел .
История В 1882 году Линдеман доказал, что трансцендентно для любого ненулевого алгебраического , а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.
Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.
Доказательство трансцендентности π Применим метод доказательства от противного. Предположим, число является алгебраическим. Тогда число , где — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу , что вызывает противоречие. Следовательно, число трансцендентно.
Примечания
Литература
Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4
Категория:Теория чисел Линдемана — Вейерштрасса Категория:Объекты, названные в честь Карла Вейерштрасса