Антиподе́ра (, от др.-греч. άντί- — против и подера; ) кривой относительно точки — кривая, для которой данная кривая есть подера относительно той же точки.
Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы, как показано на рисунке справа.
Антиподера кривой есть инверсия этой кривой с последующим полярным преобразование кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры. Также антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии этой кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры.
Полное определение антиподеры
Антиподе́ра, или отрицательная подера, или первая отрицательная подера ( ), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой, которая называется полюсом, или центром, или точкой подеры.
Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры.
Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой.
Антриподе́ры степене́й вы́ше пе́рвой определяются как антиподеры антиподер предыдущей степени с одним и тем же полюсом.
Определение антиподеры через инверсию
Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения: антиподера кривой есть инверсия с последующим полярным преобразованием кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры; антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры.
Уравнения антиподеры Параметрические уравнения антиподеры Параметрические уравнения антиподеры на вещественной плоскости В общем случае, для параметрически заданной кривой , имеющей производную , антиподера
относительно точки задаётся следующими уравнениями:
Эти основные уравнения можно принять за определение антиподеры.
В частном случае, относительно полюса в начале координат, основные уравнения будут такими:
Примеры антиподеры Парабола — антиподера прямой.
Примечания
Источники
Категория:Кривые