Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C1, C2 относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C1 в точке P1, а C2 — в точке P2. Пусть P — точка на L такая, что OP = P1P2 (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P2 от P1). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C1, C2 относительно O.
Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP1 + OP2. Это определение эквивалентно приведённому, если C1 заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P1 и P2. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.
Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».
Строфоида есть частный случай дефективной гиперболы.
Уравнения Если C1 и C2 заданы в полярных координатах функциями и соответственно, то уравнение задаёт циссоиду C1 и C2 относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C1 можно задать как . Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями
. Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.
Например, пусть C1 и C2 — это эллипсы . Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением , то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением , так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:, и эта кривая имеет форму овала.
Если C1 и C2 заданы параметрическими уравнениями
и , то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:.
Специальные случаи Если C1 является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C2.
Если C1 и C2 — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.
Гиперболы Пусть C1 и C2 — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C1 и C2 задаются в полярных координатах уравнениями
и . Мы можем повернуть на угол так, что можем предположить, что . Тогда циссоида C1 и C2 относительно начала координат задаётся уравнением
. Обозначив константные выражения, получим
что в декартовых координатах превращается в . Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.
Циссоиды Зарадника Циссоида Зарадника (названа по имени ) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности: Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой
является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.
Правая строфоида
является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.
Циссоида Диокла
является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.
Циссоида окружности и прямой , где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.
Декартов лист
является циссоидой эллипса и прямой относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как , а эллипс можно задать как . Так что циссоида задаётся уравнением
и это уравнение является параметрической форой листа.
См. также
Конхоида Строфоида Циссоида Диокла
Примечания
Литература
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.
Ссылки
C. A. Nelson «Note on rational plane cubics» Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76. 2D Curves «Courbe Cissoïdale» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском) «Cissoïdales de Zahradnik» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)
Категория:Кривые