Лизоркин, Пётр Иванович

Лизоркин, Пётр Иванович (3 апреля 1922 — 20 сентября 1993) — советский математик, профессор, создатель теории пространств Лизоркина — ТрибеляН. Л. Кудрявцев, Дробные разности и пространства Лизоркина-Трибеля, Матем. заметки, 71:6 (2002), 845—854 https://dx.doi.org/10.4213/mzm389Г. А. Калябин, Описания функций из классов типа Бесова-Лизоркина-Трибеля, Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и её приложениям. Часть 8, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 156, 1980, 82-109 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=622228 . Участник Великой Отечественной войны

Биография Уроженец села Сасово Елатомского уезда Тамбовской губернии, П. И. Лизоркин детство и юношеские годы прожил в Елатьме на Оке. После окончания средней школы он поступил на физико-математический факультет Воронежского Государственного Университета. Однако в 1940 году с первого курса Пётр Иванович был призван в армию и направлен в Харьковское Военно-авиационное училище. С началом Великой Отечественной войны училище эвакуируется в Красноярск.

Окончив училище в 1942 г. и пройдя дополнительную подготовку в Высшей школе штурманов и при лётном центре Авиации дальнего действия в г. РыбинскеБорис Шестаков. Рыбинск военный. http://boris-shestakov.ru/rybinsk-voennyj, с 1943 г. П. И. Лизоркин служил на фронте в действующей армии. В качестве штурмана Авиации дальнего действияЧерешнев А. И. Люди мужества. — М.: Воениздат, 1971. он сделал 120 успешных боевых вылетов в тыл врага и был награждён тремя орденамиС. М. Никольский, Л. Д. Кудрявцев, О. В. Бесов, С. И. Похожаев, С. А. Теляковский, В. А. Ильин, В. И. Буренков, С. Б. Стечкин, Н. В. Мирошин, В. С. Крючков, «Пётр Иванович Лизоркин (некролог)», УМН, 49:3(297) (1994), 169—170. http://www.mathnet.ru/links/dba40fd468c064076dd00e74a8b54522/rm1529.pdf.

В мае 1944 года самолёт, в экипаже которого состоял П. И. Лизоркин, был сбит в глубоком тылу врага. Целый год Пётр Иванович провёл в немецких лагерях для военнопленных, затем, будучи освобождённым из плена незадолго до конца войны, прошёл длительную госпроверку и лишь в декабре 1945 года был демобилизован из армии.

В феврале 1946 года П. И. Лизоркин поступил на инженерно-физический факультет Московского Механического института (впоследствии преобразованного в Московский инженерно-физический институт). П. И. Лизоркин окончил его с отличием в 1951 году по специальности «теоретическая физика» и был рекомендован в аспирантуру по этой специальности; однако работать в этой области не позволили, вспомнили плен, сказался закрытый профиль институтаО. В. Бесов, Л. Д. Кудрявцев, Н. В. Мирошин, С. М. Никольский, С. И. Похожаев, «Пётр Иванович Лизоркин (к семидесятилетию со дня рождения)», УМН, 48:1(289) (1993), 205—207 http://mi.mathnet.ru/umn1510.

В 1951—1957 годах П. И. Лизоркин работал преподавателем кафедры высшей математики МИФИ, а в 1958 году поступил в аспирантуру и с этого времени работал в области математики. В 1961 году П. И. Лизоркин защитил кандидатскую диссертацию. В том же году его пригласили на работу в отдел теории функций Математического института АН СССР, где в 1969 году П. И. Лизоркин защитил докторскую диссертациюП. И. Лизоркин. Обобщённое лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов функций : Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. — Матем. заметки, 4:4 (1968), 467—482. http://mi.mathnet.ru/mz9469.

Работая в Математическом институте СССР, П. И. Лизоркин не порывал с педагогической деятельностью. В течение ряда лет он заведовал кафедрой высшей математики МИФИ, был профессором этой кафедрыКафедра Высшей Математики МИФИ. http://www.kaf30.mephi.ru/htm/zav_.html . В эти же годы в МИФИ началась фундаментальная перестройка преподаваемого курса высшей математики, введение в курсы элементов функционального анализа. Учебник П. И. Лизоркина «Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа» отражает опыт МИФИ в этом направлении, сокращая «разрыв между подготовкой выпускника ВУЗа и требованиями, с которыми ему приходится встречаться на практике»Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа. М.: Наука, 1981.

П. И. Лизоркин был женат на Кузнецовой Валентине Алексеевне, преподавателе МИФИБиблиографический указатель трудов авторов НИЯУ МИФИ: 1942—2012 гг. — М.: НИЯУ МИФИ, 2012. http://library.mephi.ru/data/bibl-refs/ukaz_mephi_2012..pdf , у них трое детей.

Научная деятельность

П. И. Лизоркиным получено окончательное решение задачи о естественном расширении пространств С. Л. Соболева на дробные индексы дифференцирования. Им было введено понятие обобщённой лиувиллевской производной и на его основе определены анизотропные классы бесселевых потенциаловП. И. Лизоркин, "Обобщённое лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций" // Тр. МИАН СССР, 105, 1969, 89–167. http://www.mathnet.ru/links/022e833ed6d5a14418726101de2a7a79/tm2967.pdf Дальнейшее развитие этих работ привело к построению шкал пространств, известных в литературе как пространства Лизоркина-Трибеля. Петром Ивановичем была развита теория Фурье-мультипликаторовП. И. Лизоркин, "Мультипликаторы интегралов Фурье и оценки свёрток в пространствах со смешанной нормой. Приложения" // Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:1 (1970), 218–247. http://www.mathnet.ru/links/9de9bb568fe185403684386d0811ffe3/im2413.pdf, обобщающая и дополняющая результаты Ю. Марцинкевича и С. Г. МихлинаП. И. Лизоркин, "Обобщённое лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства . Теоремы вложения" // Матем. сб., 60(102):3 (1963), 325–353 http://www.mathnet.ru/links/7058804a2cf5aae15ca11a15f2b9a817/sm4549.pdf.

Большой цикл совместных работ С. М. Никольского и П. И. Лизоркина по теории краевых задач для эллиптических операторов с сильным вырождением на всей границе области сильно продвинул этот раздел теории дифференциальных уравнений. Они обнаружили, что корректная постановка задачи Дирихле для оператора порядка требует задания на границе области не условий, а меньшего их числа в зависимости от показателя вырождения оператора, разработали вариационные методы исследования первой краевой задачи, изучили свойства гладкости решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнения.

В последние годы жизни П. И. Лизоркин занимался теорией приближений на однородных многообразиях.

Пространства Лизоркина-Трибеля

Пространства, получившие в научной среде название пространств Лизоркина-Трибеля, были введены П. И. Лизоркиным и затем более детально исследованы немецким математиком Хансом ТрибелемТрибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986..

Обозначим - пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на . Рассматривается совокупность всех систем функций , таких чтоС. А. Гарьковская, "О несепарабельных всплеск-функциях типа Мейера в пространствах Бесова и Лизоркина–Трибеля", Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. Серия Математика. Механика. Информатика, 9:2 (2009), 12–18. http://www.mathnet.ru/links/a3cb771fc7a8730061c4528e09ea3186/isu39.pdf: Носители функций из системы являются подмножествами следующих множеств: , , ; Для каждого мультииндекса существует положительное число , при котором для всех и всех , где ; для каждого .

Пространства Лизоркина–Трибеля определяются для следующим образом: .

Здесь для краткости обозначает оператор дифференцирования, берущий для всех частную -ю производную по ; - оператор преобразования Фурье; а символом обозначается множество всех умеренных распределений на С. С. Кутателадзе. Теория распределений: истоки и значение. http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/dist.pdf .

Принадлежность функции пространству Лизоркина-Трибеля означает представимость её в виде суммы атомарных функций, т.е. функций заданной гладкости с некоторым числом нулевых моментов, чьи преобразования Фурье также имеют фиксированную гладкость.

Теоремы, сформулированные П. И. Лизоркиным и Х. Трибелем, гарантировали существование разложения функции через атомарные функции, хотя и без описания способа его полученияПетухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999.

Области применения

Появление базисов , по которым можно производить разложения функций, привело к существенному прогрессу в теории функциональных пространств. Базисы нашли широкое распространение от чисто математических проблем описания функциональных пространств до сугубо прикладных проблем цифровой обработки сигналов и изображений. Базисы всплесков находят всё большие применения в физике, астрономии, геофизике, медицине и других областях знаний. Причина такой популярности состоит в том, что всплески являются идеальным инструментом для адекватного представления нестационарных сигналов как с точки зрения глубинных свойств, важных в теории, так и с точки зрения существования для них экономичных численных алгоритмов.

Примечания

Ссылки

Категория:Выпускники Харьковского высшего военного командно-инженерного училища Категория:Выпускники МИФИ Категория:Математики России Категория:Математики СССР Категория:Математики по алфавиту