Мартинга́л (также мартинге́йл в теории вероятности) в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (среднеквадратичным) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.
Мартингалы с дискретным временем Последовательность случайных величин называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если ; . Пусть дана другая последовательность случайных величин . Тогда последовательность случайных величин называется мартингалом относительно или -мартингалом, если ; .
Мартингалы с непрерывным временем Пусть есть вероятностное пространство с заданной на нём фильтрацией , где . Тогда случайный процесс называется мартингалом относительно , если измерима относительно для любого . . почти наверное, .А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. Теория случайных процессов . Физматлит, 2005, С. 9. Последний пункт означает, что . Если в качестве взята естественная фильтрация , то называют просто мартингалом.
Суб- и супермартингалы Пусть дана последовательность случайных величин . Тогда последовательность случайных величин называется су́б(су́пер)мартингалом относительно , если
Случайный процесс называется суб(супер)мартингалом относительно , если измерима относительно для любого . . . Если в качестве взята естественная фильтрация , то называют просто суб(супер)мартингалом.
Свойства Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом. Если — мартингал, то . Если — субмартингал, то — супермартингал. Если является мартингалом, а — выпуклая функция, то — субмартингал. Если — вогнутая функция, то — супермартингал. Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом. Верна о сходимости мартингалов. Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидаемое мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.
Примеры Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда: если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом; если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал; если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал. Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом. Простейшим именным примером мартингала является мартингал де Муавра. Пусть дана последовательность независимых случайных величин , имеющих распределение Бернулли с вероятностью «успеха», равной . Определим случайный процесс следующим образом: , где . Тогда является мартингалом.
Примечания