Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега. Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича.

Определение

Определение 1 Пусть  — некоторая фиксированная -функция — функцией называется функция M(u), допускающая представление , где  — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: ., а  — дополнительнаяВзаимно дополнительными называются  — функции , удовлетворяющие уравнениям , где  — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: , а определена при равенством . к ней -функция;  — множество конечной меры.

Пространством Орлича называется совокупность всех измеримых функций , удовлетворяющих условию при всех , таких что .

В пространстве Орлича задана норма Орлича: .

Определение 2 Пусть  — некоторая фиксированная -функция.

Пространством Орлича называется множество всех измеримых функций , имеющих конечную норму Люксембурга

Эквивалентность определений Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой выполнены неравенства

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

Свойства  — банахово пространство.

сепарабельно тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет -условию -условие: .

Назовем классом Орлича множество таких измеримых функций, для которых Пространство Орлича совпадает с классом Орлича тогда и только тогда, когда удовлетворяет -условию.

Пространством назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в . Если удовлетворяет -условию, . В противном случае .

сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.

является сопряженным пространством к , где и  — дополнительные друг к другу -функции.

Если , если найдутся , такие, что, то . Верно и обратное.

Примеры Если то .

Примечания

Литература Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.

Категория:Функциональный анализ Категория:Топологические векторные пространства Категория:Топологические пространства функций