В математике и теоретической физике зеркальной симметрией называется эквивалентность многообразий Калаби — Яу в следующем смысле. Два многообразия Калаби — Яу могут быть совершенно разными геометрически, но давать одинаковую физику элементарных частиц при использовании их в качестве «свёрнутых» дополнительных размерностей теории струн. Сами такие многообразия называют зеркально симметричными.

Зеркальная симметрия была изначально обнаружена физиками. Математики заинтересовались этим явлением около 1990 года, когда Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать в качестве инструмента в исчислительной геометрии, разделе математики, занимающемся подсчётом количества ответов на те или иные геометрические вопросы. Канделас и соавторы показали, что зеркальная симметрия может быть использована для подсчёта числа рациональных кривых на многообразии Калаби — Яу, что решает долго не поддававшуюся задачу. Несмотря на то, что первоначальный подход к зеркальной симметрии базировался на идеях, сформулированных на физическом уровне строгости, математики смогли строго доказать некоторые из предсказаний, сделанные физиками.

Сейчас зеркальная симметрия является одной из наиболее мейнстримных областей исследований в области чистой математики, и математики работают над развитием математического понимания этого основанного на физической интуиции явления. Кроме того, зеркальная симметрия является основным инструментом вычислений в теории струн; также она использовалась для понимания деталей квантовой теории поля, формализма, с помощью которого физики описывают элементарные частицы. Основные подходы к зеркальной симметрии включают в себя программу гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича и SYZ-гипотезу Строминджера, Яу и Заслоу.

Обзор

Струны и компактификация

Теория струн — теория, в которой фундаментальными объектами являются не точечные частицы, а одномерные объекты, называемые струнами. Струны бывают открытые и замкнутые; открытые выглядят как отрезки, замкнутые — как петли. Теория струн занимается описанием того, как эти фундаментальные объекты — струны — распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На расстояниях бoльших, чем планковская длина, струна выглядит как точечная частица со своими массой, зарядом и другими свойствами, зависящими от колебательной моды струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц — таким образом, у нас есть струнный язык, которым описывается взаимодействие частиц.Доступное введение в теорию струн, например, см. в Грине, 2000.

Между миром, который описывается теорией струн, и миром, с которым мы сталкиваемся в повседневности, есть существенная разница. В обычной жизни мы наблюдаем три пространственных измерения (вверх/вниз, налево/направо, и вперёд/назад) и одно временнoе (раньше/позже). Таким образом, на языке современной физики, пространство-время четырёхмерно.Wald 1984, p. 4 Одной из особенностей теории струн является тот факт, что для её самосогласованности требуются дополнительные измерения пространства-времени. В теории суперструн (версии теории струн, которая включает в себя суперсимметрию) требуется шесть дополнительных размерностей пространства-времени в дополнение к привычным четырём.Zwiebach 2009, p. 8

Одна из целей текущих исследований в области теории струн — развить модели, в которых струны описывали бы поведение частиц, наблюдаемое в экспериментах физики высоких энергий. Мир, в котором мы наблюдаем частицы, кажется нам четырёхмерным — таким образом, необходимо выбрать способ редукции до четырёх измерений на привычных нам расстояниях. В наиболее реалистичных теориях это достигается путём процесса компактификации, в котором дополнительные размерности «замыкаются» сами на себе в окружности.Yau and Nadis 2010, Ch. 6 Если эти «свёрнутые» дополнительные размерности оказываются очень малыми, нам будет казаться, что пространство-время в такой теории имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия здесь — садовый шланг. Если смотреть на садовый шланг с достаточно большого расстояния, он производит впечатление одномерного объекта. В то же время, если к нему приблизиться, будет видно и второе измерение, соответствующее окружности. Так, ползущий по поверхности шланга муравей на самом деле перемещается в двух измерениях, а не в одном.Эту аналогию приводит, к примеру, Грин, 2000, стр. 186

Многообразия Калаби — Яу

С помощью компактификации можно превращать получающиеся теоретически многомерные пространства в эффективно четырёхмерные. Однако не всякий способ компактификации приводит к четырёхмерному пространству, которое могло бы описывать наш мир. Можно получить, что компактные дополнительные размерности должны иметь форму многообразия Калаби — Яу. Многообразие Калаби-Яу — (обычно комплексно трёхмерное) пространство, главным свойством которого является тривиальность канонического расслоения. Оно названо в честь Эудженио Калаби, который сформулировал гипотезу о существовании и единственности соответствующей метрики — гипотезу Калаби — и Шинтана Яу, который её доказал.Yau and Nadis 2010, p. ix

После того как многообразия Калаби — Яу вошли в физику (в качестве способа компактифицировать «лишние» измерения), физики стали их интенсивно изучать. В конце 80-х Вафа и другие заметили, что по получающемуся четырёхмерному пространству невозможно однозначно восстановить многообразие Калаби — Яу, с помощью которого производилась компактификация.Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989 Вместо этого две разные теории струн — теория струн типа IIA и теория струн типа IIB — могут быть скомпактифицированы с помощью абсолютно разных многообразий Калаби — Яу так, что это приведёт к одной и той же физике.Геометрию того или иного многообразия Калаби-Яу описывается с помощью ромба Ходжа — чисел Ходжа, записанных в виде ромба. Ромбы Ходжа зеркально симметричных многообразий переходят друг в друга при повороте на 90 градусов. For more information, see Yau and Nadis 2010, p. 160-3. Такие два многообразия Калаби — Яу называются зеркально симметричными, и соответствие между двумя исходными теориями струн (более точно, конформными теориями поля, которыми они описываются) называется зеркальной симметрией.Aspinwall et al. 2009, p. 13

Зеркальная симметрия — частный случай того, что физики называют дуальностью. Дуальностями называются ситуации, когда две разные физические теории оказываются нетривиальным способом эквивалентными. Если можно сделать такое преобразование, что уравнения одной теории совпадают с уравнениями другой теории, то две такие теории называют дуальными по отношению к этому преобразованию. Можно сказать по-другому: две дуальные теории являются математически разными описаниями одного и того же явления.Hori et al. 2003, p. xvi Такие дуальности часто возникают в современной физике, особенно в теории струн.Примеры других дуальностей, которые всплывают в теории струн — S-дуальность, T-дуальность, AdS/CFT-соответствие.

Безотносительно того, имеют ли отношение компактификации теории струн с помощью многообразий Калаби — Яу к реальному миру, существование зеркальной симметрии имеет существенные математические последствия.Zaslow 2008, p. 523 Многообразия Калаби — Яу являются объектом изучения чистой математики и с помощью зеркальной симметрии позволяют математикам решать задачи исчислительной алгебраической геометрии. Типичная задача исчислительной геометрии — подсчитать число рациональных кривых на многообразии Калаби — Яу (например, на таком, которое изображено выше). Пользуясь зеркальной симметрией, математики показали, что у этой задачи есть эквивалентная ей для зеркально симметричного многообразия, которую проще решить.Yau and Nadis 2010, p. 168

Физики получили зеркальную симметрию, не прибегая к математическим соображениям.Hori and Vafa 2000 В то же время математиков обычно интересуют математически строгие доказательства — доказательства, в которых нет места физической интуиции. С математической точки зрения, описанная выше версия зеркальной симметрии является всё ещё предположением, но существует другая версия зеркальной симметрии — версия, связанная с топологической теорией струн, упрощённой теории струн, введённой Виттеном,Witten 1990 которая была строго доказана математиками.Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000 На языке топологической теории струн, зеркальная симметрия — утверждение об эквивалентности A-модели и B-модели; они эквивалентны в том смысле, что связаны дуальностью.Zaslow 2008, p. 531 Сейчас математики активно работают над развитием математического понимания зеркальной симметрии, которая была обнаружена физиками на языке, на котором удобнее думать физикам.Hori et al. 2003, p. xix В частности, математики пока что не вполне понимают, как строить новые примеры зеркально симметричных многообразий Калаби — Яу, несмотря на некоторый прогресс в этой области.Zaslow 2008, p. 537

История Истоки зеркальной симметрии следует искать в середине 1980-х, когда было замечено, что замкнутая струна, распространяющаяся по окружности радиуса , физически эквивалентна замкнутой струне, распространяющейся по окружности радиуса (в некоторой системе единиц).This was first observed in Kikkawa and Yamasaki 1984 and Sakai and Senda 1986. Это явление называется T-дуальностью и тесно связано с зеркальной симметрией.Strominger, Yau, and Zaslow 1996 В статье 1985 года, Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен показали, что, компактифицируя теорию струн многообразием Калаби — Яу, можно получить теорию, похожую на стандартную модель физики частиц.Candelas et al. 1985 Следуя этому соображению, физики начали изучать компактификации многообразий Калаби — Яу в надежде построить физику частиц, описывающую реальный мир, которая была бы следствием теории струн. Вафа и другие заметили, что по данной модели четырёхмерной физики частиц нельзя однозначно восстановить многообразие Калаби — Яу, с помощью которого происходила компактификация. Вместо этого есть два многообразия Калаби — Яу, которые приводят к одинаковым четырёхмерным теориям физики частиц.This was observed in Dixon 1988 and Lerche, Vafa, and Warner 1989.

Изучая соответствия между многообразиями Калаби — Яу и определёнными конформными теориями поля (моделями Гепнера), Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркального соответствия.Green and Plesser 1990; Yau and Nadis 2010, p. 158 Дальнейшее развитие этот вопрос получил несколько позже, когда Филип Канделас и два его студента проверили большое количество многообразий Калаби — Яу на компьютере и обнаружили, что каждое из них является «зеркально симметричной парой» для какого-либо другого.Candelas, Lynker, and Schimmrigk 1990; Yau and Nadis 2010, p. 163

Математики заинтересовались зеркальной симметрией около 1990 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что с её помощью можно решать не поддававшиеся десятилетиями задачи в исчислительной геометрии.Candelas et al. 1991Yau and Nadis 2010, p. 165 Эти результаты были представлены на конференции в Беркли в мае 1991-го. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, полученных Канделасом при подсчёте рациональных кривых не совпало с числом, полученным норвежскими математиками Гайром Эллингсруд и Стейном Арилд Стромме, которые использовали, по-видимому, более строгие соображения.Yau and Nadis 2010, pp. 169—170 Большинство математиков на конференции полагало, что работа Канделаса содержала ошибку, так как базировалась на математически нестрогих суждениях. Однако в скором времени Эллингсруд и Стромме нашли ошибку в своей компьютерной программе и, исправив код, получили ответ, совпавший с ответом Канделаса и соавторов последнего.Yau and Nadis 2010, p. 170