Пла́нковская длина́ (обозначаемая ) — величина размерности длины, составленная из фундаментальных констант — скорости света, постоянной Планка и гравитационной постоянной: , где: — постоянная Дирака , где — постоянная Планка — гравитационная постоянная, — скорость света в вакууме. С точностью до числового множителя, такая комбинация единственна, поэтому она считается естественной единицей длины. Входит в планковскую систему единиц. Численно планковская длина равна
Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядовТаким образом, значение планковской длины можно представить в следующией форме: = 1,616 255(18) · 10−35 м == (1,616 255 ± 0,000 018) · 10−35 м..
Считается, что планковская длина (и связанное с ней планковское время) определяют масштабы, на которых современные физические теории перестают работать: геометрия пространства-времени, предсказываемая общей теорией относительности, на расстояниях порядка планковской длины и меньших теряет смысл из-за квантовых эффектов. Предполагается, что явления природы на этих масштабах должна адекватно описывать некая гипотетическая, до настоящего времени не сформулированная, теория, объединяющая общую теорию относительности и квантовую механику, — квантовая гравитация.
Планковская длина связана с гипотезой о квантовании пространства-времени — предположением о том, что пространство-время дискретно; в одном из вариантов этой гипотезы минимальное возможное расстояние между точками пространства — величина порядка .
Теоретическая значимость Планковская длина — это масштаб длины, на котором квантовая гравитация становится актуальной. Планковская длина приблизительно равна размеру чёрной дыры, где квантовые и гравитационные эффекты находятся в одном масштабе: длина волны Комптона (делённая на число π) и радиус Шварцшильда одинаковы.
Основную роль в квантовой гравитации должен будет играть принцип неопределенности , где — гравитационный радиус, — радиальная координата, — планковская длина. Этот принцип неопределенности является ещё одной формой принципа неопределенности Гейзенберга между импульсом и координатой применительно к шкале Планка. Действительно, это соотношение можно записать следующим образом: , где — гравитационная постоянная, — масса тела, — скорость света, — приведенная постоянная Планка. Сокращая одинаковые константы с двух сторон, мы получаем принцип неопределенности Гейзенберга . В релятивистской физике в системе отсчёта, покоящейся относительно микрообъекта, существует минимальная погрешность измерения его координат . Этой погрешности отвечает неопределённость импульса , соответствующая минимальной пороговой энергии для образования пары частица-античастица, в результате чего сам процесс измерения теряет смысл.
Принцип неопределенности предсказывает появление виртуальных черных дыр и кротовых нор (квантовой пены) в масштабе Планка.
Доказательство: уравнение для инвариантного интервала в решении Шварцшильда имеет вид
Подставим, согласно соотношению неопределенностей . Мы получим
Видно, что в масштабе Планка инвариантный интервал в специальной и общей теории относительности ограничен снизу длиной Планка (появляется деление на ноль), что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.
Пространственно-временная метрика флуктуирует и генерирует квантовую пену. Эти флуктуации в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с и становятся заметными только в планковском масштабе. Лоренц-инвариантность нарушена в планковском масштабе. Формула для флуктуаций гравитационного потенциала согласуется с соотношением неопределенностей Бора — Розенфельда Г. Ю. Тредер, Взгляды Гелмгольца, Планка, Эйнштейна на единую физическую теорию, в сб. Проблемы физики: классика и современность, М., Мир,1982, cc.305, 321. Из-за малости значения формула для инвариантного интервала в специальной теории относительности всегда записывается в метрике Галилея , что на самом деле не соответствует действительности. Правильная формула должна учитывать флуктуации метрики пространства-времени и наличие виртуальных черных дыр и кротовых нор (квантовой пены) на расстояниях планковского масштаба. Игнорирование этого обстоятельства приводит к ультрафиолетовым расходимостям в квантовой теории поляКушниренко А. Н. «Введение в квантовую теорию поля», изд-во «Высшая школа», Москва, 1983, с.7[ Новиков И. Д., Фролов В. П. «Физика черных дыр» Москва, «Наука»,1986, с.296. Квантовые флуктуации в геометрии накладываются на крупномасштабную медленно меняющуюся кривизну, предсказываемую классической детерминированной общей теорией относительности. Классическая кривизна и квантовые флуктуации сосуществуют друг с другом.
Следствие: черные дыры Планка с массой g могут не «испаряться», но быть устойчивыми образованиями — максимонами . Вся масса чёрной дыры «испарится»Hawking S. W., Commun. math. Phys., 43, 199, by Springer-Verlag, 1975 за исключением той её части, которая связана с энергией нулевых, квантовых колебаний вещества чёрной дыры. Такие колебания не повышают температуру объекта и их энергия не может излучитьсяМарков М. А. О природе материи — Москва, Наука, 1976, с.210. Альтернативой этому процессу может быть «испарение» макроскопических черных дыр до размеров Планка, а затем их исчезновение в море виртуальных черных дыр.
Любая попытка исследовать возможное существование более коротких расстояний путем столкновения с более высокими энергиями неизбежно приведет к образованию черных дыр. Столкновения с более высокими энергиями не будут разделять материю на более мелкие части, но просто породят большие черные дырыBernard J. Carr and Steven B. Giddings «Quantum Black Holes», Scientific American, Vol. 292, No. 5, MAY 2005, (pp. 48-55). Уменьшение приведет к увеличению и наоборот. Последующее увеличение энергии приведет к появлению более крупных черных дыр с худшим, а не лучшим разрешением. Поэтому планковская длина — это минимальное расстояние, которое можно исследовать.
Отметим, что планковская длина естественным образом появляется при интегрировании уравнений Эйнштейна для малой пространственно-временной области гравитационного поля. См. Виртуальна черная дыра.
Планковская длина накладывает практические ограничения на текущую физику. Для измерения расстояний планковской длины потребуется частица с планковской энергией, примерно в четыре квадриллиона раз большей, чем ей способен придать Большой адронный коллайдер.
Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда Частица массой имеет приведённую комптоновскую длину волны
С другой стороны, радиус Шварцшильда той же частицы равен
Произведение этих величин всегда постоянно и равно
Таким образом, планковская длина является средним геометрическим значением между радиусом Шварцшильда и половиной приведённой комптоновской длины волны для частиц любой массы.
Планковская длина и евклидова геометрия Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидовуМигдал А. Б. Квантовая физика для больших и маленьких, Библиотека «Квант», вып. 75, Москва, Наука,1989, с.116-117. Степень отклонения геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала и квадрата скорости света : . Когда , геометрия близка к евклидовой; при всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба равна ( — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой , на такой длине есть , где — постоянная всемирного тяготения. Вместо следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия (). Получаем . Разделив это выражение на , получим величину отклонения . Приравняв , найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине м.
Как отмечалось у Редже (1958), «для области пространства-времени с размером неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка , а неопределенность метрического тензора — порядка . Если макроскопическая длина, квантовые ограничения фантастически малы, и ими можно пренебречь даже в атомных масштабах. Если значение сравнимо с , то содержание бывшей (обычной) концепции пространства становится все более и более трудным и влияние микрокривизны становится очевидным».[ Т.Редже «Гравитационные поля и квантовая механика», 1958, с.460-466]T.Regge «Gravitational fields and quantum mechanics». Nuovo Cim. 7, 215 (1958). . Гипотетически это может означать, что пространство-время становится квантовой пеной в масштабе Планка.
Квантование пространства и планковская длина