Шестая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладеПеревод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эта проблема посвящена вопросу аксиоматизации теоретической физики. Проблему можно считать частично решённой или некорректно поставленной в зависимости от интерпретации первоначальной формулировки Гильберта.Corry L. David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905) // Arch. Hist. Exact Sci. — 51 (1997). — No. 2. — P. 83—198. — ..

Проблема в формулировке Гильберта Шестую проблему Гильберт формулировал следующим образом (перевод с английского издания): 6. Математическая трактовка аксиом физики. Исследования основ геометрии наталкивают на проблему: таким же образом, с помощью аксиом, трактовать те физические науки, в которых уже сегодня математика играет важную роль; на первом месте стоят теория вероятностей и механика. С дальнейшим пояснением: Что касается аксиом теории вероятностей, то мне кажется желательным, чтобы их логическое исследование сопровождалось строгим и удовлетворительным развитием метода средних значений в математической физике и, в частности, в кинетической теории газов. ... Работа Больцмана о принципах механики выдвигает проблему математического развития ограничивающих процессов, которые там просто указаны, которые ведут от атомистического взгляда к законам движения сплошных сред.

Сам Гильберт считал важнейшими два вопроса. Аксиоматизацию теории вероятностей, которая является фундаментом статистической физики. Строгую теорию предельных процессов «которые ведут от атомистической точки зрения к законам движения континуума».

В 1933 году Колмогоров на базе теории меры построил аксиоматику теории вероятностей, которая сегодня является общепринятой.

В 1990—2000 годах несколькими группами математиков были получены важные результаты и по второму вопросуSaint-Raymond L. Hydrodynamic limits of the Boltzmann equation // Lecture Notes in Mathematics. — Vol. 1971. — Berlin: Springer-Verlag, 2009. — .Slemrod M. From Boltzmann to Euler: Hilbert’s 6th problem revisited // Comput. Math. Appl. — 65 (2013). — No. 10. — P. 1497—1501. — MR 3061719. — .Gorban A. N., Karlin I. Hilbert’s 6th Problem: exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations () // Bull. Amer. Math. Soc. — 51 (2014). — no. 2. — 186—246. — .

Современное состояние проблемы В настоящее время наиболее общими аксиоматически построенными физическими теориями являются общая теория относительности, которая описывает гравитационное взаимодействие и квантовая механикаНаиболее удачную математическую модель для квантовой механики построил фон Нейман на основе теории гильбертовых пространств со стандартной моделью, которые описывают три остальных взаимодействия. Но поскольку квантовой теории гравитации пока не существует, эти теории нельзя объединить. В этом смысле шестая проблема Гильберта не решена.Theme issue

В 2025 году группа математиков вывела полный набор уравнений жидкости, включая уравнение Эйлера и уравнения Навье — Стокса, непосредственно из законов Ньютона.

Примечания

Литература

#06