Свободная абелева группа (свободный -модуль) — абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом называют также формальными суммами над . Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы.

Например, группа  — прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы  — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис , где и . Произвольный элемент группы единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: . Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в . Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения).

Формальные суммы Для любого множества можно определить группу , элементы которой — функции из во множество целых чисел , а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: , относительно этого сложения образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством . Действительно, любому элементу множества можно сопоставить функцию , такую что и для всех элементов из множества таких, что . Любая функция из представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций: .

Группа с базисом единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов .

Универсальное свойство Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция из множества в абелеву группу является вложением базиса в эту группу, если для любой функции из в произвольную абелеву группу существует единственный гомоморфизм групп такой, что . Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом эквивалентны.

Подгруппа Подгруппа свободной абелевой группы также является свободной абелевой группой. Доказательство этого свойства зависит от аксиомы выбора. Example 7.1 предоставляет модель теории множеств и несвободную проективную абелеву группу в этой модели, которая является подгруппой свободной абелевой группы где  — множество атомов.; в различных учебниках используются разные варианты доказательства, например, в «Алгебре» Ленга приводится доказательство, использующее лемму Цорна, тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский использовали принцип вполне упорядочивания, считая такое доказательство более интуитивным.

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат: подгруппа  конечнопорождённой свободной группы свободна, притом существует базис группы и натуральные числа (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что образуют базис . Более того, последовательность зависит только от и , но не от выбора базиса''.

Кручение и делимость Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы и ненулевого числа , таких что . Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел  — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу.

Прямые суммы и произведения Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера (прямое произведение счётного числа копий ) не является свободной абелевой. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой.

Примечания

Категория:Теория абелевых групп