Podgrupa dane grupe za neko dvočleno operacijo * je H podmnožica množice G se imenuje podgrupa G, če H tudi tvori grupo za dvočleno operacijo *. Če smo bolj natančni je H je podgrupa množice G, če so omejitve, ki veljajo za * H x H grupna operacija za H. To se pogosto piše kot H ≤ G, in bere kot "H je podgrupa za G".

Osnovne značilnosti podgrup

Podmnožica H grupe G je podgrupa za G, če in samo, če ni prazna in je zaprta za produkt in obratne vrednosti. Zaprtost pomeni naslednje: kadar sta a in b v H in sta v H tudi ab in a−1 tudi v H. Ta dva pogoja lahko kombiniramo v enakovredno trditev: kadar sta a in b v H, potem je tudi ab−1 je tudi v H. Kadar je H končen, je H podgrupa samo, če in samo če je H zaprt za zmnožek. V tem primeru vsak element iz H generira končno vrtilno grupo za H in obratna vrednost za a je enaka a−1 = an − 1, kjer n red za a. Zgornjo trditev lahko izrazimo s pomočjo homomorfizma. To pomeni, da je H podgrupa grupe G samo, če in samo, če je H podmnožica od G. Nevtralni element podgrupe je nevtralni element grupe. Kadar ima G nevtralni element eGin je H podgrupa za G z nevtralnim elementom eH, potem je eH = eG. Obratna vrednost elementa v podgrupi je obratna vrednost elementa v grupi. Kadar je H podgrupa grupe G in sta a in b elementa H tako, da je ab =ba = eH, potem je ab = ba =eG. Presek podgrup A in B je tudi podgrupa Jacobson (2009), str. 41. Unija podgrup A in B je podgrupa, če in samo če vsebujeta A ali B tudi drugega, ker sta primera 2 in 3 uniji 2Z in 3Z, njuna vsota 5 pa ni. Naslednji primer je unija x-osi in y-osi v ravnini. To služi kot primer dveh podgrup, katerih presek je natančno nevtralni element. Če je S podmnožica za G, potem obstoja najmanjša podgrupa, ki vsebuje S, ki jo najdemo tako, da vzamemo presek vseh podgrup, ki vsebujejo S. Označimo jo z <S> in zanjo pravimo, da je to podgrupa, ki jo generira S. Element iz G je v S je samo in samo, takrat ko je končni zmnožek elementov iz S, katerih presek je natančno nevtralni element. Vsak element grupe G generira ciklično podgrupo <a>. Kadar je <a> izomorfen za x Z/nZ za vsako pozitivno celo število, je n najmanjše pozitivno celo število za an = e in n se za a imenuje red . Kadar je <a> izomorfen za Z, pravimo, da ima a neskončni red. Podgrupe vsake dane grupe tvorijo popolno mrežo pod inkluzijo, ki jo imenujemo mreža podgrup. Kadar je nevtralni element za G, takrat je trivialna grupa {e} minimalna vrednost podgrupe za G. Pri tem pa je maksimalna vrednost sama po sebi že grupa.

Koseti in Lagrangeev izrek

Za dano podgrupo H in poljuben a v lahko definiramo levi koset aH = {ah :h v H}. Ker je preslikava obrnljiva H → aH in je dana z φ(h) = ah je to bijekcija. Vsak element v G se nahaja natančno v enem levem kosetu od H. Levi koset je enakovreden razred, ki odgovarja ekvivalenčni relaciji a1 ~ a2, če in samo, če je a1−1a2 v H. Število levih kosetov za H se imenuje indeks za H v G. Označujemo ga z [G : H].

Lagrangeev izrek trdi, da je za končne grupe v podgrupi:

kjer |G| in |H| označujeta red za G oziroma za H. Pti tem mora biti red vsake grupe za G ter red vsakega elementa od G delitelj za G.

Desni koseti so definirani podobno Ha = {ha : h v H}. To so tudi ekvivalenčni razredi za odgovarjajoče ekvivalenčne relacije. Njihovo število je enako [G : H].

Kadar je aH = Ha za vsak a v G, pravimo, da je H normalna podgrupa. Vsaka podgrupa z indeksom dva je normalna. Levi in desni koset je podgrupa in njegov komplement. Bolj splošno to povemo tako, da takrat, ko je p prvo praštevilo, ki deli red končne grupe G, potem je vsak indeks podgrupe, če ta obtoja, običajen.

Zgled za podgrupe Z8 Naj bo G ciklična grupa, ki ima elemente

in z grupno operacijo seštevanje po modulu osem. Pripadajoča Caleyjeva tabela je

+ 0 2 4 6 1 3 5 7 0 0 2 4 6 1 3 5 7 2 2 4 6 0 3 5 7 1 4 4 6 0 2 5 7 1 3 6 6 0 2 4 7 1 3 5 1 1 3 5 7 2 4 6 0 3 3 5 7 1 4 6 0 2 5 5 7 1 3 6 0 2 4 7 7 1 3 5 0 2 4 6 Ta grupa ima par netrivialnih podgrup J={0,4} in H={0,2,4,6}, kjer je J tudi podgrupa za H. Caylejeva tabela za H zgornji levi kvadrant Caylejeve tabele za G. Grupa G je ciklična. Takšne so tudi njene podgrupe. V splošnem so tudi podgrupe cikličnih grup tudi ciklične.

Zgled za podgrupe Z4 Vsaka grupa kot ima tudi toliko majhnih podgrup ter nevtralnih elementov na glavni diagonali:

Trivialna grupa ter grupa dveh elementov je Z2. Te majhne podgrupe niso navedene v spodnji tabeli.

thumb|left|595px|Simetrična grupa S4 kaže permutacije 4 elementov

12 elementov thumb|left|323px|Alternativna grupa A4 kaže sode permutacijePodgrupe:70px60px60px 60px 60px

8 elementov thumb|233px|Diedrska grupa reda 8Podgupe:70px70px70px   thumb|233px|Diedrska grupa reda 8Podgrupe:70px70px70px   thumb|233px|Diedrska grupa reda 8Podgrupe:70px70px70px

6 elementov thumb|187px|Simetrična grupa S3Podgrupe:60px thumb|187px|Simetrična grupa S3Podgrupe:60px thumb|187px|Simetrična grupa S3Podgrupe:60px thumb|187px|Simetrična grupa S3Podgrupe:60px

4 elementi thumb|142px|Kleinova štiri grupa thumb|142px|Kleinova štiri grupa thumb|142px|Kleinova štiri grupa thumb|142px|Kleinova štiri grupa

thumb|142px|Ciklična grupa Z4 thumb|142px|Ciklična grupa Z4 thumb|142px|Ciklična grupa Z4

3 elementi thumb|120px|Ciklična grupa Z3 thumb|120px|Ciklična grupa Z3 thumb|120px|Ciklična grupa Z3 thumb|120px|ciklična grupa Z3

Glej tudi Cartanova podgrupa Fittingova grupa stabilna podgrupa

Opombe in sklici

Zunanje povezave Podgrupa na MathWorld Kreiranje podgrupe Podgrupe

Kategorija:Teorija grup