Devetinpetdeset ikozaedrov

300px|thumb|Diagram stelacije ikozaedra z osrednjim trikotnikom, kjer je označen prvotni ikozaeder.

Devetinpetdeset ikozaedrov je knjiga, ki so je napisali in ilustrirali Coxeter (1907-2003) in Du Val (1903-1987), V. T. Flather in Petrie. Oštevilčili so večje število stelacij pravilnih konveksnih ali platonskih ikozaedrov v skladu s pravili, ki jih je postavil Miller.

Najprej je bila izdana na Univerzi v Torontu v letu 1938, drugo izdajo je pripravil Springer-Verlag v letu 1982. K. In D. Crennell sta obnovila besedilo in ponovno narisala diagrame za Tarqiunovo tretjo izdajo v letu 1999. Dodala sta še nekaj snovi in fotografij.

Prispevki avtorjev Millerjeva pravila

Čeprav Miller (1906-1981) ni neposredno prispeval h knjigi, je bil močan prijatelj Coxeterja in Petrieja. Njegov prispevek je postal nesmrten s skupino pravil za definicijo oblik stelacije in se jih lahko obravnava kot »posebno pomembne:«

(i) Stranske ploskve morajo ležati v dvanajstih ravninah, to pa so povezovalne ravnine pravilnega ikozaedra.

(ii) Vsi deli, ki sestavljajo stranske ploskve morajo biti v isti ravnini, čeprav so nepovezani.

(iii) Vsi deli, ki so vključeni v eno ravnino morajo imeti trigonalno simetrijo brez ali z zrcaljenja. To zagotavlja ikozaedersko simetrijo celega telesa.

(iv) Vsi iz ene ravnine morajo biti »dosegljivi« v celotnem telesu (to pa pomeni, da morajo biti »zunanji.« V nekaterih primerih to zahteva ogromne modele, da bi se videla celotna zunanjost. Z modeli običajne velikosti so nekateri deli »zunaj.«

(v) Ne obravnavamo pa primerov, kjer lahko dele delimo v dve skupini, ki dasta telesu, lastnost, da ima vsak del toliko simetrije kot celotno telo. Dovolimo pa kombinacijo enenciomorfnih parov, ki nimajo skupnega dela, kar se pojavlja samo v enem primeru.

Pravila (I) do (III) so zahteve po simetriji za ravnine stranskih ploskev. Pravilo (IV) izključuje zakopane skrite luknje, tako, da nobeni dve stelaciji na zunaj ne izgledata enako. Pravilo (V) preprečuje, da bi nastali poljubni nepovezani sestavi enostavnejših stelacij.

right

Coxeter Coxeter je bil glavna gonilna sila pri svojem delu. Izdelal je analizo Millerjevih pravil in pri tem uporabil večje število tehnik, kot so kombinatorika in abstraktna teorija grafov. Uporaba teh tehnik v geometrijskem okolju je bila takrat novost.

Opazil je, da diagrami stelacije uporabljajo mnoge segmente premic. Razvil je postopek za delo s kombinacijo sosednjih področij ravnin. Pri tem je oštevilčil dovoljene kombinacije, ki jih dovoljujejo Millerjeva pravila.

Njegova slika, ki je prikazana tukaj, prikazuje različne stranske ploskve, ki jih najdemo v diagramu stelacije (glej spodaj). Grški simboli predstavljajo množico možnih alternativ:

λ je lahko 3 ali 4 μ je lahko 7 ali 8 ν je lahko 11 ali 12

Du Val

Du Val je prispeval simbolično označevanje za določanje množice skladnih celic, ki so osnovane na opažanjih, da ležijo v »lupinah« okrog prvotnega ikozaedra. Na osnovi tega je preizkusil vse možne kombinacije Millerjevih pravil in s tem je potrdil Coxeterjev bolj analitični pristop.

Flather

Flatherjev prispevek je bil bolj posreden. Pripravil je modele vseh devetinpetdesetih ikozaedrov. Ko je prvič srečal Coxeterja je že izdelal mnoge stelacije vključno z neMillerjevimi primeri. Dodal je še popolno skupino devetinpetdesetih ikozaedrov, ki so bili ohranjeni v matematični knjižnici Univerze v Cambridgu na Angleškem. Knjižnica je imela tudi nekaj neMillerjevih modelov, toda ni jasno kateri od njih je naredil Flather in katere Millerjevi študentje Izgubljene stelacije.

Petrie

John Flinders Petrie je bil dolgoletni Coxetrov prijatelj. Tako je imel možnost spoznati štirirazsežno geometrijo. On in Coxeter sta delala skupaj na mnogih metematičnih problemih. Njegov prispevek k devetinpetdesetim ikozaedrom je bil v mnogih brezštevilnih množicah trirazsežnih risb, ki so občudovanja vredne.

Crennela

Za tretjo izdajo sta Kate in David Crennell popolnoma obnovila besedilo ter ponovno narisala slike in diagrame.

thumb|right|300px|Diagram stelacije z oštevilčenimi celicami thumb|right|150px|Diagram celic z Du Valovo notacijo za celice

Pregled devetinpedesetih ikozaedrov

Pred Coxeterjem sta samo Brückner in Wheeler opazila pomembno množico stelacij, čeprav jih je bilo prej znanih zelo malo. Po izdaji dela Devetinpetdeset je Wenninger objavil navodila za izdelavo nekaterih modelov. Številčenje v tej knjigi je postalo široko uporabljano, čeprav je bilo v njem omenjenih samo nekaj stelacij.

Opombe

Števike indeksov so Crennellove, če ni drugače zapisano.

Crennell

V številčenju, ki je bilo dodano tretji izdaji, je Creenell prvih 32 oblik in zrcalnih modelov ter zadnjih 27 je kiralnih, ki imajo samo desne oblike. To je posledica reda v katerem so stelacije prikazane v knjigi.

Celice

V Du Valovi notaciji je vsaka lupina zapisana v mastnem tisku, to je a, b, c, ..., h kjer je a prvotni ikozaeder. Nekatere lupine se delijo v dve skupini celic, kot na primer e vključuje e1 in e2. Množica f1 se deli še na desno-sučne in levo-sučne oblike

Stranske ploskve

Vse stelacije se lahko izrazijo s pomočjo diagrama stelacije. V diagramu, ki je prikazan, barve označujejo področja

Wheeller

Wheeller je našel obliko ikozaedra, tako, da je izbral segmente premice iz diagrama stelacije. Ločil je med Keplerjevo in klasičnim postopkom stelacije. Coxeter je s sodelavci prezrl to razliko in je obravnaval vse kot stelacije.

Brückner

Brückner je naredil in fotografiral modele mnogih poliedrov. Od njih jih je bilo bolj malo ikozaedrov.

Opombe

Številka 8 se včasih imenuje ehinaeder, ki ima ime po navidezni podobnosti s kljunatim ježkom. Ta uporaba izraza je neodvisna od Keplerjevega opisa tega pravilnega zvezdnega poliedra, ki ga on imenuje ehidna in spada v red kljunatih ježkov.

Crennell VRMLCelice Stranska ploskev Wenninger Wheeler Brückner OpombeStranske ploskveSlika 3D1 A 0 04ikozaeder 1 platonski ikozaeder 100px100px2 B 1 26 triakisni ikozaeder2 prva stelacija ikozaedra, mali triambski ikozaeder, ali triakisikozaeder 100px100px3 C 2 23sestav petih oktaedrov 3 pravilni poliedrski sestav sestav petih oktaedrov100px100px4 D 3 4 4 100px100px 5 ikozaeder_(5)_(5_color).wrlE 5 6 7 100px6 ikozaeder_(6)_(5_color).wrlF 8 9 10 27druga stelacija 19 100px100px7 stellated_icosahedron_(7)_(5_color).wrlG 11 12 41veliki ikozaeder 11 veliki ikozaeder100px100px8 H 13 42končna stelacija 12 končna stelacija ikozaedra ali ehinaeder100px100px9 e1 3' 5 37dvanajsta stelacija 100px100px10 f1 5' 6' 9 10 100px11 g1 10' 12 29četrta stelacija 21 100px100px12 e1f1 3' 6' 9 10 100px13 e1f1g1 3' 6' 9 12 20 100px14 f1g1 5' 6' 9 12 100px15 e2 4' 6 7 100px16 f27' 8 22 100px17 g2 8' 9' 11 100px18 e2f2 4' 6 8 100px19 e2f2g2 4' 6 9' 11 100px20 f2g2 7' 9' 11 30peta stelacija 100px100px21 De1 4 5 32sedma stelacija 10 100px100px22 Ef1 7 9 10 25sestav desetih tetraedrov 8 pravilni poliedrski sestav sestav desetih tetraedrov100px100px23 Fg1 8 9 12 31šesta stelacija 17 100px100px24 De1f1 4 6' 9 10 100px25 De1f1g1 4 6' 9 12 100px26 Ef1g1 7 9 12 28tretja stelacija 9 izkopani dodekaeder100px100px27 De2 3 6 7 5 100px28 Ef2 5 6 8 18 100px100px 29 Fg2 10 11 33osma stelacija 14 100px100px30 De2f2 3 6 8 34deveta stelacija 13 srednji triambski ikozaeder aliveliki triambski ikozaeder100px100px31 De2f2g2 3 6 9' 11 100px32 Ef2g2 5 6 9' 11 100px33 f1 5' 6' 9 10 35deseta stelacija 100px100px34 e1f1 3' 5 6' 9 10 36enajsta stelacija 100px100px35 De1f1 4 5 6' 9 10 100px36 f1g1 5' 6' 9 10' 12 100px37 e1f1g1 3' 5 6' 9 10' 12 39štirinajsta stelacija 100px100px38 De1f₁g1 4 5 6' 9' 10' 12 100px39 f1g2 5' 6' 8' 9' 10 11 100px40 e1f1g2 3' 5 6' 8' 9' 10 11 100px41 De1f1g2 4 5 6' 8' 9' 10 11 100px42 f1f2g2 5' 6' 7' 9' 10 11 100px43 e1f1f2g2 3' 5 6' 7' 9' 10 11 100px44 De1f1f2g2 4 5 6' 7' 9' 10 11 100px45 e2f1 4' 5' 6 7 9 10 40petnajsta stelacija 100px100px46 De2f1 3 5' 6 7 9 10 100px47 Ef15 6 7 9 1024 sestav petih tetraedrov7(6: levo-sučni)pravilni poliedrski sestav sestav petih tetraedrov (desno-sučni)100px100px48e2f1g14' 5' 6 7 9 10' 12 100px49De2f1g13 5' 6 7 9 10' 12 100px50Ef1g15 6 7 9 10' 12 100px51e2f1f24' 5' 6 8 9 1038trinajsta stelacija 100px100px52De2f1f23 5' 6 8 9 10 100px53Ef1f25 6 8 9 10 15(16: levo-sučni) 100px54e2f1f2g14' 5' 6 8 9 10' 12 100px55De2f1f2g13 5' 6 8 9 10' 12 100px56Ef1f2g15 6 8 9 10' 12 100px57e2f1f2g24' 5' 6 9' 10 11 100px58De2f1f2g23 5' 6 9' 10 11 100px59Ef1f2g25 6 9' 10 11 100px

Glej tudi

seznam modelov Wenningerjevih poliedrov telesa z ikozaedrsko simetrijo

Sklici

Zunanje povezave

Vzorčni primeri stelacij ikozaedra

Devetinpetdeset stealacij ikozaedra Stelacije ikozaedra Nekatere izgubljene stelacije ikozaedra Stelacije ikozaedra Stelacije ikozaedra v Concise Encyclopedia of Mathematics Interaktino izdelovanje stelacij poliedrov z različnimi simetrijami, Vladimir Bulatov

Kategorija:Stelacija poliedrov Kategorija:Matematične knjige