Aritmétično-geométrična sredína dveh realnih števil in je v matematiki srednja vrednost, določena na naslednji način:

Najprej se izračuna aritmetična sredina števil in. Označi se jo z . Nato se izračuna njuno geometrično sredino in se jo označi z - to je kvadratni koren produkta :

Nato se ta operacija iterira, tako da se namesto vzame , namesto pa . Na ta način sta določeni dve zaporedji in :

Ti dve zaporedji konvergirata k istemu številu, kar predstavlja aritmetično-geometrično sredino števil in . Označuje se jo z , in včasih ali .

To se lahko rabi za algoritemske namene v metodi AGM.

Zgled

Za izračun aritmetično-geometrične sredine števila in , se najprej izračuna njuno aritmetično in geometrično sredino:

Nato pa se iterira:

Prve štiri iteracije dajo naslednje vrednosti:

{| class="wikitable" |- ! ! ! |- | 0 | 23 | 7 |- | 1 | 15 | 12,68857754044952… |- | 2 | 13,84428877022476… | 13,79596546482858… |- | 3 | 13,82012711752667… | 13,82010599666786… |- | 4 | 13,82011655709727… | 13,82011655709323…

Aritmetično-geometrična sredina števil 23 in 7 je skupna limita teh dveh zaporedij, kar je približno 13,82011655709.

Zgodovina

Prvi algoritem na podlagi tega para zaporedij se je pojavil v Legendrovem delu. Njegove značilnosti je naprej raziskoval Carl Friedrich Gauss..

Značilnosti in uporaba

Geometrična sredina dveh pozitivnih števil ni nikoli večja od njune aritmetične sredine (glej neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin). Zaradi tega je naraščajajoče zaporedje, padajoče in velja . To sta strogi neenakosti, če je .

je tako število med geometrično in aritmetično sredino števil in , še posebej je med in .

Pri velja .

Za obstaja integralska oblika:

kjer je popolni eliptični integral 1. vrste:

Ker proces aritmetično-geometrične sredine konvergira tako hitro, prek te formule zagotavlja učinkovit način računanja eliptičnih integralov. V tehniki se na primer uporablja pri načrtovanju eliptičnih filtrov..

V programu za simbolno računanje Maple je aritmetično-geometrična sredina določena z GaussAGM(a, b), v programu Mathematica pa z ArithmeticGeometricMean[a, b].

Sorodni koncepti

Obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena iz 2 je Gaussova konstanta:

Na podobni način se lahko izračuna geometrično-harmonična sredina z zaporedjema geometrične in harmonične sredine. Tudi aritmetično-harmonična sredina se lahko podobno definira, zavzame pa enake vrednosti kot geometrična sredina.

Modificirano aritmetično-geometrično sredino je vpeljal in definiral Semjon Adlaj na strani 1094 izvoda Notices of the AMS septembra 2012.. Izkazala se je za uporabno pri računanju popolnih eliptičnih integralov 2. vrste.

Glej tudi

posplošena sredina neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin Gauss-Legendrov algoritem

Sklici

Viri

prvič objavljeno v L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), str. 275-330

Zunanje povezave

Kalkulator aritmetično-geometrične sredine Dokaz stopnje konvergence na PlanetMath

Kategorija:Srednje vrednosti Kategorija:Specialne funkcije Kategorija:Eliptične funkcije