thumb|right|250px|Površina modrega območja konvergira k Euler-Mascheronijevi konstanti, ki je ničta Stieltjesova konstanta.
Stieltjesove konstante (ali posplošene Eulerjeve konstante) so v matematiki števila , ki se pojavljajo v Laurentovi vrsti za Riemannovo funkcijo ζ:
Ničta Stieltjesova konstanta je znana kot Euler-Mascheronijeva konstanta. Konstante se imenujejo po nizozemskem matematiku Thomasu Joannesu Stieltjesu in redkeje po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju.
Izrazi
Stieltjes je pokazal, da so konstante dane z limito:
Cauchyjeva formula za odvod vodi do integralskega izraza:
Več integralskih izrazov in neskončnih vrst so v svojem delu podali Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanudžan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine in drugi avtorji. Še posebej Jensen-Franelova integralska formula, večkrat napačno pripisana Ainsworthu in Howellu, pravi, da velja:
kjer je Kroneckerjeva delta. Med drugimi formulami so (glej: ):
Znano vrsto, ki vsebuje celi del logaritma, je podal Hardy leta 1912:
Tu je dvojiški logaritem.
Israilov je podal delno konvergentno vrsto z Bernoullijevimi števili :
Oloa in Tauraso sta pokazala, da vrsta s harmoničnimi števili lahko vodi do Stieltjesovih konstant:
Blagouchine je našel počasi konvergentno vrsto, ki vsebuje nepredznačena Stirlingova števila prve vrste :
kot tudi delno konvergentno vrsto s samimi racionalnimi členi:
Več drugih vrst je danih v Coffeyjevemu delu.
Asimptotična rast
Za Stieltjesove konstante velja meja:
ki jo je podal Berndt leta 1972. Boljše meje so našli Lavrik, Israilov, Matsuoka, Nan-You, Williams, Knessl, Coffey, Adell, Saad-Eddin, Fekih-Ahmed in Blagouchine. Eno od najboljših ocen z elementarnimi funkcijami je podal Matsuoka leta 1985:
Dokaj točne ocene z neelementarnimi funkcijami so podali Knessl, Coffey in Fekih-Ahmed. Knessl in Coffey sta na primer dala naslednjo formulo, ki relativno dobro aproksimira Stieltjesove konstante za velike . Če je enolična rešitev enačbe:
z , in, če je , potem velja:
kjer je:
Vse do Knessl-Coffeyjev približek trenutno predvideva predznak z eno izjemo za .
Številske vrednosti
Prve desetiške vrednosti Stieltjesovih konstant podaja razpredelnica:
{| class="wikitable" | || desetiške vrednosti || OEIS |- | 0 || +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 || |- | 1 || −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 || |- | 2 || −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 || |- | 3 || +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 || |- | 4 || +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 || |- | 5 || +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 || |- | 6 || −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 || |- | 7 || −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 || |- | 8 || −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 || |- | 9 || −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 || |- | 10 || +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 || |- | 100 || −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 · 1017 || |- | 1000 || −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 · 10486 || |- | 10000 || −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 · 106883 || |- | 100000 || +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 · 1083432 ||
Za velike absolutne vrednosti Stieltjesovih konstant naraščajo hitro, predznak pa se spreminja v zapletenem vzorcu.
Dodatne informacije o numeričnem določevanju Stieltjesovih konstant se lahko najde v delu avtorjev: Keiper, Kreminski, Plouffe in Johansson. Johansson je podal vrednosti Stieltjesovih konstant do , vsaka točna na več kot 10000 števk. Številske vrednosti se lahko dobijo v podatkovni bazi LMFDB.
Posplošene Stieltjesove konstante
Splošna informacija
Bolj splošno se lahko definirajo Stieltjesove konstante , ki se pojavljajo v Laurentovi vrsti za Hurwitzevo funkcijo ζ:
Tu je kompleksno število z . Ker je Hurwitzeva funkcija ζ posplošitev Riemannove funkcije ζ, velja . Ničta konstanta je preprosto funkcija digama . Za druge konstante ni znana razčlenitev na elementarne ali klasične funkcije iz analize. Ne glede na to obstaja več izrazov zanje. Na primer naslednji asimptotični izraz:
ki sta jo podala Berndt in Wilton. Analogon Jensen-Franelove formule za posplošeno Stieltjesovo konstanto je Hermitova formula:
Za posplošene Stieltjesove konstante velja naslednja rekurenčna zveza:
kakor tudi multiplikacijski izrek:
kjer označuje binomski koeficient.
Prva posplošena Stieltjesova konstanta
Prva posplošena Stieltjesova konstanta ima več pomembnih značilnosti. Malmstenova enakost (refleksijska formula za prve posplošene Stieltjesove konstante): refleksijska formula za prvo posplošeno Stieltjesovo konstanto ima obliko:
kjer sta in takšni pozitivni celi števii, da velja , pa je funkcija Γ. Formulo so dolgo časa pripisovali Almkvistu in Meurmanu, ki sta jo izpeljala v 1990-ih. Vendar je nedavno Blagouchine odkril, da je to enakost, sicer v malo drugačni obliki, našel Malmsten leta 1846.
Izrek o racionalnih argumentih: prva posplošena Stieltjesova konstanta z racionalnim argumentom se lahko izračuna iz delno sklenjene oblike s formulo:
Alternativni dokaz je kasneje predložil Coffey.
Končne vsote: za prve posplošene Stieltjesove konstante obstaje veliko sumacijskih formul. Na primer:
Nekatere posebne vrednosti: nekatere posebne vrednosti prve Stieltjesove konstante z racionalnimi argumenti se lahko zreducirajo na funkcijo Γ, prvo Stieltjesovo konstanto in elementarne funkcije. Na primer:
,
Vrednosti prvih posplošenih Stieltjesovih konstant v točkah 1/4, 3/4 in 1/3 sta prva neodvisno izračunala Connon in Blagouchine:
,
,
.
Vrednosti v točkah 2/3, 1/6 in 5/6 je izračunal Blagouchine:
,
,
,
Podal je tudi vrednosti v točkah 1/5, 1/8 in 1/12:
,
,
,
kakor tudi nekatere druge vrednosti.
Druga posplošena Stieltjesova konstanta
Drugo posplošeno Stieltjesovo konstanto so manj raziskovali od prve. Blagouchine je pokazal, da se lahko podobno kot prva posplošena Stieltjesova konstanta druga posplošena Stieltjesova konstanta z racionalnim argumentom izračuna s pomočjo formule:
Podobni rezultat je kasneje dobil Coffey z drugo metodo.
Opombe
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije Kategorija:Matematične konstante