300px|right|thumb|right|300px|Grafa funkcij E1 (zgoraj) in Ei (spodaj)
Eksponéntni integrál (tudi integrálna eksponéntna fúnkcija,. označba Ei) je v matematiki specialna nelementarna funkcija v kompleksni ravnini. Definirana je kot poseben določeni integral razmerja med eksponentno funkcijo in njegovim argumentom.
Definicije
Za realne neničelne vrednosti x je eksponentni integral Ei(x) definiran kot:
Rischev algoritem pokaže, da funkcija Ei ni elementarna. Zgornja definicija se lahko uporabi za pozitivne vrednosti x, vendar je treba integral razumeti v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti zaradi singularnosti integranda v točki 0.
Za kompleksne vrednosti argumenta je ta definicija dvoumna zaradi vejišč v 0 in .. Zaradi tega se namesto Ei uporablja naslednji zapis:.
V splošnem je prerez vejišča vzet na negativni realni osi in se lahko funkcija E1 definira z analitičnim nadaljevanjem vseepovsod drugod v kompleksni ravnini.
Za pozitivne vrednosti realnega dela se lahko to zapiše kot:.
Obnašanje funkcije E1 blizu prereza vejišča se lahko vidi z naslednjim izrazom:.
Lastnosti
Več spodnjih lastnosti eksponentnega integrala v določenih primerih omogoča izogib eksplicitni določitvi vrednosti prek zgornje definicije.
Konvergentne vrste
Če se integrira Taylorjeva vrsta za in izloči logoritemska singularnost, se lahko izpelje naslednji razvoj v vrsto za funkcijo za realne :Za izpeljavo glej .
Za kompleksne argumente stran od negativne realne osi se to posploši v:.
kjer je Euler-Mascheronijeva konstanta. Vsota konvergira za vse kompleksne , tako da se za običajno vrenost kompleksnega logaritma vzame prerez vejišča vzdolž negativne realne osi.
S to formulo se lahko izračuna z operacijami s plavajočo vejico za realne med 0 in 2,5. Za je rezultat netočen zaradi izgube pomembnosti.
Hitreje konvergirajočo vrsto je našel Ramanudžan:
Asimptotične (divergentne) vrste
thumb|right|200px|Relativna napaka asimptotičnega približka za različno število členov v prisekani vsoti
Konvergenca zgornje vrste je počasna za argumente z večjim modulom. Za je na primer potrebno več kot 40 členov za vrednost točno na tri decimalna mesta.. Obstaja pa približek z divergentno vrsto, ki se lahko dobi z integracijo po delih:.
z napako reda in velja za velike vrednosti . Relativna napaka zgornjega približka je prikazana na desni sliki za različne vrednosti členov v prisekani vsoti ( rdeče, rožnato).
Eksponentno in logaritemsko obnašanje: izenačevanje
right|200px|thumb|Izenačevanje funkcije z dvema elementarnima funkcijama
Iz dveh vrst predlaganih v predhodnih razdelkih sledi, da se funkcija obnaša kot negativna eksponentna funkcija za velike vrednosti argumenta in kot logaritem za majhne vrednosti. Za pozitivne realne vrednosti argumenta se lahko funkcija izenači z elementarnimi funkcijami kot sledi:.
Leva stran te neenakosti je prikazana na levem grafu modro; osrednji del črno, desna stran pa rdeče.
Definicija s funkcijo Ein
Obe funkciji in se lahko zapišeta preprostejši obliki s pomočjo cele funkcije ,. definirane kot:
(to je le alternirajoča vrsta v zgornji definiciji funkcije ). Potem velja:
Povezava z drugimi funkcijami
EKsponentni integral je v tesni povezavi z logaritemskim integralom li(x) s formulo:
za pozitivne realne vrednosti .
Eksponentni integral se lahko posploši na:
kar se lahko zapiše kot poseben primer nepopolne funkcije gama:.
Posplošena oblika se včasih imenuje Misrova funkcija,po . , definirana kot:
Z upoštevanjem logaritma se definira posplošena integralsko-eksponentna funkcija:.
Nedoločeni integral:
je po obliki podoben navadni rodovni funkciji za , številu deliteljev :
Odvajanje
Odvode posplošenih funkcij se lahko izračuna s formulo:.
Funkcija se preprosto izračuna, zaradi česar je ta rekurzija uporabna, ker velja ..
Eksponentni integral imaginarnega argumenta
thumb|right|200px|Graf funkcije v odvisnosti od ; realni del črno, imaginarni del rdeče.
Če je imaginaren, ima nenegativni realni del, tako da se lahko uporabi formula:
za povezavo s trigonometričnima integraloma in :
Realna in imaginarna dela funkcije sta prikazana na desni sliki s črno in rdečo krivuljo.
Računanje in približki
Za funkcijo eksponentnega integrala obstaja več približkov. Med njimi so:
približek Swameeja in Ohije:.
kjer je in , približek Allena in Hastingsa:.
kjer je , , in ,
razvoj z verižnim ulomkom:
približek Barryja s sodelavcema:.
kjer je , , , , , in tu Euler-Mascheronijeva konstanta.
Posebne vrednosti
,
Ničla () ima vrednost:
.
Uporaba
časovno odvisni prenos toplote neravnovesni tok podtalnice v prehodni Theisovi rešitvi (funkcija vodnjaka) prenos sevanja v zvezdnih atmosferah radialna difuzijska enačba za tok prehodnega ali spremenljivega stanja s črtastimi viri in ponori rešitve nevtronske transportne enačbe v poenostavljenih enorazsežnih geometrijah..
Glej tudi
Goodwin-Statonov integral
Sklici
Viri
, Poglavje 5
Zunanje povezave
, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 NIST documentation on the Generalized Exponential Integral
Exponential integral Ei na strani Wolfram Functions Eksponentni, logaritemski, sinusni in kosinusni integral v DLMF
Kategorija:Specialne funkcije Kategorija:Integrali