Erdős-Kacev izrek v teoriji števil, znan tudi kot osnovni izrek verjetnostne teorije števil, je izrek, ki pravi, da, če je število različnih prafaktorjev števila , potem je prosto rečeno verjetnostna porazdelitev:
standardna normalna porazdelitev. Izrek se imenuje po Paulu Erdősu in Marku Kacu. Izrek je Kac postavil leta 1940, strogo pa ga je dokazal Erdős istega leta. To je razširitev Hardy-Ramanudžanovega izreka, ki pravi, da je normalni red enak s tipično napako velikosti ..
Točnejša definicija
Bolj formalno izrek pravi, da za poljubna velja:
kjer je normalna (ali Gaussova) porazdelitev, definirana kot:
V splošnem, če je močno aditivna funkcija () z za vsa praštevila , potem velja:
kjer je:
Kacev izvirni hevristični prijem
Intuitivno je Kac hevristično za rezultat rekel, da če je naključno izbrano veliko celo število, je število različnih prafaktorjev približno normalno porazdeljeno z aritmetično sredino in varianco . To izhaja iz dejstva, da sta dogodka, da je za poljubno naravno število »število« deljivo s kakšnim praštevilom za vsako praštevilo obojestransko neodvisna.
Če se sedaj označi dogodek, da je »število« deljivo s z , je vsota naznačenih naključnih spremenljivk enaka:
Ta vsota šteje koliko različnih prafaktorjev ima to naključno naravno število . Lahko se pokaže, da za to vsoto velja Lindebergov pogoj, in tako Lindebergov centralni limitni izrek zagotavlja, da bo po ustrezni umeritvi, zgornji izraz normalno porazdeljen.
Dejanski Erdősev dokaz s pomočjo teorije sit strogo dokaže zgornjo intuicijo.
Numerični zgledi
Erdős-Kacev izrek pomeni, da konstrukcija števila okrog ene milijarde zahteva v povprečju tri praštevila. Velja na primer: 1.000.000.003 = 23 · 307 · 141623.
Naslednja razpredelnica podaja numerični seštevek rasti povprečnega števila različnih prafaktorjev naravnega števila z naraščajočim . thumb|right|250px|Histogram števila različnih prafaktorjev za
n število števk v n povprečno število različnih praštevil standardni odklon1.000421,41.000.000.0001031,71.000.000.000.000.000.000.000.000254210656652,2109.5669.567103,210210.704.568210.704.569204,51010221022+1507,11010441044+110010101043410434+1100031,6
Približno 12,6 % od 10.000 števčnih števil se skonstruira iz 10-ih različnih praštevil in približno 68 % iz od 7 do 13 praštevil.
Votla sfera velikosti planeta Zemlja napolnjena s finim peskom bi imela približno 1033 zrnc. Prostornina opazljivega vesolja bi imela približno 1093 zrnc peska. V takšnem vesolju bi bilo prostora za 10185 kvantnih strun. Število takšne velikosti s 186 števkami bi za konstrukcijo zahtevalo v povprečju le 6 praštevil.
Zelo težko je, če ne nemogoče, odkriti takšen rezultat empirično, saj se normalna porazdelitev kaže le kadar je približno enak . Rényi in Turán sta točneje pokazala, da je najboljša možna enakomerna asimptotična meja napake v približku za normalno porazdelitev enaka ..
Glej tudi
praštevilski izrek
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Timothy Gowers: The Importance of Mathematics (part 6, 4 mins in) and (part 7) Izvirni Erdősev in Kacev članek (PDF; 863 kB) s strani Matematičnega inštituta Alfréda Rényia
Kategorija:Paul Erdős Kategorija:Normalna porazdelitev Kategorija:Matematični izreki Kategorija:1940 v znanosti