thumb|right|200px|Graf obratne vrednosti masnega razmerja rakete () v odvisnosti od njene končne hitrosti () po enačbi Ciolkovskega.
Enačba Ciolkovskega (tudi formula ~, (osnovna) raketna ~, enačba idealne rakete in Oberthova enačba) v astrodinamiki in raketodinamiki opisuje gibanje vesoljskega plovila, ki sledi osnovnemu načelu rakete, naprave, ki lahko s pomočjo pospeška nase s potiskom in izpuščanjem dela svoje mase z veliko hitrostjo, ter se tako giblje zaradi ohranitve gibalne količine.
Enačba povezuje delto v (največjo spremembo hitrosti) rakete, če nanjo ne deluje nobena zunanja sila) z efektivno izpušno hitrostjo in začetno in končno maso rakete ali drugi reaktivni motor.
Za vsak tak manever (ali polet, ki vsebuje niz takšnih manevrov) je enačba Ciolkovskega enaka:.
{|cellpadding="5" style="border:2px solid #50c878; background: #ecfcf4; text-align: left;"
kjer je: – delta v, največja sprememba hitrosti plovila (brez delovanja zunanjih sil), – začetna skupna masa vključno s pogonskim gorivom (mokra masa), – končna skupna masa brez pogonskega goriva (suha masa), – celotni čas izgorevanja pogonskega goriva (čas delovanja raketnega motorja) razmerje končne in začetne skupne mase, – efektivna hitrost izhajanja izpušnega plina v okvirju plovila, – funkcija naravnega logaritma.
Enačba se lahko zapiše tudi s pomočjo specifičnega sunka sile (impulza) namesto efektivne izpušne hitrosti s pomočjo formule :
kjer je: – standardni težni pospešek = 9,80665 m/s2, – specifični sunek sile (impulz), izražen kot časovna perioda v sekundah.
Zgodovina
Enačba se imenuje po Konstantinu Edvardoviču Ciolkovskem, ki jo je neodvisno izpeljal in objavil leta 1903 v svojem delu Raziskovanje vesoljskih prostorov z reaktivnimi pripravami (Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами).. Uvedel jo je 10. (22.) maja 1897 v rokopisu Raketa (Ракета).Архив Российской академии наук (АРАН). Ф. 555. Оп. 1. Д. 32. Лл. 1—2, 5, 11, 20. Enačbo je pred tem izpeljal angleški matematik William Moore leta 1813,. Peter Guthrie Tait in William John Steele sta jo izpeljala leta 1856 v delu A treatise on the dynamics of a particle.. Škotski znanstvenik in minister William Leitch je izpeljal osnove raketne tehnike leta 1861.
Čeprav je enačba preprosta vaja v infinitezimalnem računu, jo je Ciolkovski prvi uporabil pri vprašanju ali lahko rakete dosežejo potrebne hitrosti za vesoljske polete. Pri tem morajo biti veliko bolje energetsko grajene z razliko od dotedanjih artilerijskih raket gnanih s smodnikom. Enačba se lahko izpelje z integriranjem diferencialne enačbe Meščerskega sistema točkastih teles s spremenljivimi masami:
oziroma, če ni zunanjih sil ():
kjer je: – masni pretok.
Enačbo je leta 1897 izpeljal Ivan Vsevolodovič Meščerski.. Jiří Buquoy je pred njim raziskal sisteme s spremenljivo maso. Leta 1812 je eksplicitno formuliral pravilno dinamično enačbo gibanja za primer kadar se masa gibajočega telesa spreminja... Njegovo delo so leta 1815 predstavili v Francoski akademiji znanosti. Razen kratkega Poissonovega članka Sur le Mouvement d’un Système de Corps, en supposant le Masses Variables iz leta 1819 njegove zamisli niso vzbudile posebnega zanimanja in so se sčasoma pozabile.. Kakor je poudaril Meščerski, je enačbo gibanja planeta s spremenljivo maso pri stalnih trkih in ločitvah izpeljal von Seeliger leta 1890... Cayley je leta 1857 obravnaval sorodni razred dinamičnih problemov trkov sistemov z delci infinitezimalne mase in vpeljal variacijsko načelo:.
Cayley je posebej obravnaval verigo padajočo z mize. Delo Meščerskega na zahodu ni bilo znano do leta 1949, ko so izdali njegova zbrana dela.
Robert Esnault-Pelterie, Robert Hutchings Goddard, Hermann Oberth (1924) in mnogi drugi so neodvisno od Ciolkovskega kasneje zapisali enačbo.
Ciolkovski je enačbo zapisal v obliki:
kjer je: – masa pogonskega goriva, – razmerje pogonske mase.
Količina se imenuje število Ciolkovskega....
Količine , , in so si med seboj sorazmerne po razpredelnici (v mnogih virih imajo različne označbe): količina definicija – – – –
Izpeljava
Izpeljava z izrekom o gibalni količini
Obravnava se naslednji sistem s spremenljivo maso: slika:Var mass system.svg
V tej izpeljavi »raketa« pomeni »raketa in vso njeno neizgorelo pogonsko gorivo.«
2. Newtonov zakon povezuje zunanje sile () s spremembo gibalne količine celotnega sistema (vključno z raketo in izpuhom), kot sledi:
kjer je gibalna količina rakete v času :
in gibalna količina rakete in izpuščene mase v času :
in kjer je glede na opazovalca:
– hitrost rakete v času , – hitrost rakete v času , – hitrost mase dodane izpuhu (in izgubljene za raketo) v času , – masa rakete v času , – masa rakete v času .
Izpušna hitrost v opazovalčevem koordinatnem sistemu je povezana z izpušno hitrostjo v koordinatnem sistemu rakete z zvezo (ker ima izpušna hitrost negativno smer):
Sledi:
in, če se vzame , ker izpuh pozitivnega dela mase povzroči zmanjšanje mase rakete:
Brez zunanjih sil
Če ni zunanjih sil, po izreku o gibalni količini velja in potem:
Od tod se diferenciala lahko pokrajšata:
Če se privzame, da je izpušna hitrost konstantna, se lahko enačba integrira z ločitvijo spremenljivk:
kar da:
oziroma standardno obliko enačbe Ciolkovskega:
{|cellpadding="5" style="border:2px solid #50c878; background: #ecfcf4; text-align: left;"
ali zapisano enakovredno:
{|cellpadding="5" style="border:2px solid #50c878; background: #ecfcf4; text-align: left;" |- | ali ali
kjer je: – začetna skupna masa vključno s pogonskim gorivom, – končna skupna masa, – hitrost raketnega izpuha glede na raketo (specifični sunek sile ali, če se računa v času, pomnožen s standardnim težnim pospeškom na Zemlji).
Vrednost je celotna masa pogonskega goriva, ki je izgorelo, in zato:
kjer je razmerje pogonske mase (del začetne skupne mase, ki se porabi kot delovna masa).
Za ubežno hitrost z Zemlje s konstantno tipično hitrostjo rakete je potrebno razmerje enako:
to je skoraj 94 % mase pri izstrelitvi mora biti pogonsko gorivo.
(delta v) je integral po času velikosti pospeška, ki ga proizvede raketni motor (kar bi bil dejanski pospešek, če ne bi bilo zunanjih sil). V prostem prostoru za primer pospeška v smeri hitrosti je to povečanje hitrosti. V primeru pospeška v nasprotni smeri (zaviranje) je to zmanjšanje hitrosti. Tudi gravitacija in aerodinamični upor pospešujeta ali zavirata plovilo, in se lahko prištejeta ali odštejeta od spremembe hitrosti, ki jo plovilo doživi. Zato delta v po navadi ni dejanska sprememba hitrosti ali hitrost plovila.
Vpliv gravitacije
Če se upošteva konstantno gravitacijsko polje s standardnim težnim pospeškom , ki deluje v nasprotni smeri gibanja rakete, ima izrek o gibalni količini obliko:
Enačba se lahko integrira:
kar da:.
oziroma:
Tu je celotni izgorevalni čas in konstantni masni pretok izgorevanja pogonskega goriva, ki odraža zmanjševanje začetne mase do končne mase v tem času:
V primeru odprtega prostora brez gravitacijskih vplivov je vseeno kako dolgo izgoreva gorivo. Sprememba hitrosti ne vpliva na izgorevalni čas. V prisotnosti gravitacije pa ima velik vpliv. Člen pove, da daljši ko je izgorevalni čas, manjša bo sprememba hitrosti rakete. Število Ciolkovskega je v tem primeru enako:
Posebna teorija relativnosti
V klasični mehaniki 2. Newton zakon velja le za zaprte sisteme s konstantno maso (, ). V takšnih sistemih ni razlike med obema oblikama zakona:
Obe obliki sta za sistem s konstantno maso invarianti za Galilejevo transformacijo:
kjer je hitrost v inercialnem opazovalnem sistemu relativnem krajevnemu. Če se Galilejeva transformacija zapiše za obe obliki, sledi, da sta tudi sili v obeh sistemih enaki:
Če masa ni konstantna po času, sili v obeh sistemih nista enaki:
Časovni odvod desne strani da:
in tako:
Druga oblika zakona velja tako za zaprte sisteme s konstantno maso in odprte sisteme s spremenljivo maso. Tako tudi v posebni teoriji relativnosti druga oblika zakona velja, prva pa ne, in je potrebna relativistična definicija gibalne količine :
kjer je Lorentzev faktor. Če se upošteva posebna teorija relativnosti, se lahko izpelje naslednja enačba za relativistično raketo,. kjer je spet končna hitrost rakete (ko je porabila vso svojo reakcijsko maso in je preostala njena mirovna masa ) v inercialnem opazovalnem sistemu, kjer je raketa začela polet v mirovanju (z mirovno maso vključno z začetno maso pogonskega goriva ), in hitrost svetlobe v vakuumu:
Enačba se lahko preuredi kot:
Če se vzameta zvezi:
(tukaj »exp« označuje eksponentno funkcijo; glej tudi naravni logaritem in tudi enakost »potenc« v logaritemskih enakostih) in:
(glej hiperbolična funkcija),
je to enakovredno izrazu:
Druge izpeljave
S sunkom sile
Enačba Ciolkovskega se lahko izpelje tudi iz osnovnega integrala pospeška v obliki sile (potiska) po masi. Enačbe delte v se zapiše v obliki:
kjer je: – potisk – začetna (suha) masa, – začetna masa minus končna (suha) masa.
Integral rezultante sil po času je celotni sunek sile , če se privzame, da deluje le potisk:
Integral je enak:
Sunek sile po spremembi mase je enak sili po velikosti masnega toka pogonskega goriva (), ki je sama enakovredna izpušni hitrosti:
Integral se lahko izenači z:
S pospeškom
Naj raketa v prostoru miruje brez delovanja zunanjih sil (1. Newtonov zakon). Od trenutka, ko se vžgejo njeni motorji (ura se nastavi na 0), raketa izpušča plinsko maso s konstantno velikostjo masnega toka (kg/s) in z izpušno hitrostjo relativno na raketo (m/s). To povzroča konstantno potisno silo, ki poganja raketo, in, ki je enaka:
Masa goriva, ki jo ima raketa na krovu na začetku, je enaka . Velikost masnega toka je definirana kot razmerje med skupno mokro maso rakete in izgorevalnim časom rakete, tako da bo pretekel čas , ko bo vse gorivo izgorelo. Na raketo tako deluje konstantna sila (), istočasno pa se njena skupna masa stalno zmanjšuje, ker izpušča plin. Po 2. Newtonovem zakonu ima to lahko le eno posledico – njen pospešek se stalno povečuje. Za določitev pospeška je treba pogonsko silo deliti s skupno maso rakete. Tako bo pospešek v poljubnem času po zagonu motorjev in preden se porabi vso gorivo dan kot:
Ker je hitrost določeni integral pospeška in, ker je treba integrirati od časa zagona motorjev () do časa, ko zadnje gorivo zapusti raketo (), naslednji določeni integral da hitrost v času, ko se porabi vso gorivo:
Izrazi v enačbi
Delta v
Delta v (dobesedno »sprememba hitrosti«), označena kot Δv, izgovorjena kot delta-ve, kakor se rabi v dinamiki leta vesoljskih plovil, je mera sunka sile, ki je potreben za izvedbo manevra, kot je izstrelitev ali pristanek na planetu ali naravnemu satelitu, ali v vesoljskem prostoru kot orbitalni manever. Je skalarna količina in ima enoto hitrosti. Če se rabi v tem kontekstu, ni enaka kot fizikalna sprememba hitrosti plovila.
Delto v proizvajajo reakcijski motroji, kot so na prier raketni motorji, in je sorazmerna s potiskom na enoto mase in izgorevalnim časom. Rabi se za določevanje mase raketnega goriva, potrebnega za dani manever prek enačbe Ciolkovskega.
Za mnogokratne manevre se delte v seštevajo linearno.
Za medplanetarne odprave se delta v običajno prikaže s konturnim grafom svinjske zarebrnice, ki prikazuje zahtevano delto v odprave kot funkcijo datuma izstrelitve.
Masno razmerje
V zrakoplovno-vesoljski tehniki je masno razmerje goriva del mase plovila, ki ne doseže cilja, in se po navadi rabi kot mera učinkovitosti plovila. Masno razmerje goriva je razmerje med maso goriva in začetno maso plovila. V vesoljskem plovilu je cilj po navadi tir, za letalo pa njegov kraj pristanka. Večje masno razmerje predstavlja manjšo težo konstrukcije. Druga pomembna mera je tovorno razmerje, ki je del začetne teže kot tovora.
Efektivna izpušna hitrost
Efektivna izpušna hitrost je običajno določena kot specifični impulz (sunek sile). Obe količini sta povezani med seboj kot:
kjer je: