Wilsonov izrek v teoriji števil pravi, da je naravno število praštevilo, če in samo če je zmnožek vseh naravnih števil, ki so manjša od za ena manj od mnogokratnika od . To pomeni, da (z uporabo zapisa modularne aritmetike) fakulteta v izreku:
velja, ko je praštevilo. Z drugimi besedami, vsako število je praštevilo, če in samo če je deljivo z .
Zgodovina
Izrek je odkril Ibn Al Haitam (okoli leta 1000) in John Wilson (1741-1793) v 18. stoletju, ko je bil študent na kolidžu Peterhouse v Cambridgeu. Edward Waring je izrek oznanil leta 1770, toda nihče ga ni znal dokazati. Waring je tudi poimenoval izrek po Wilsonu.
Prvi dokaz je podal Joseph-Louis de Lagrange leta 1771. Obstajajo dokazi, da je dokaz že eno stoletje prej vedel Gottfried Wilhelm Leibniz, toda ga ni nikoli objavil.
Zgled
Za vsako izmed vrednosti od 2 do 30, podaja naslednja razpredelnica število in ostanek pri deljenju z (V modularni aritmetiki se ostanek števila pri deljenju z zapiše kot .) Barva ozadja je modra za praštevila od in zlata za sestavljena števila. +Seznam fakultet in njihovih ostankov modula n 211322462524461200772068504009403200103628800113628800101239916800013479001600121462270208000158717829120001613076743680000172092278988800016183556874280960000196402373705728000182012164510040883200002124329020081766400000225109094217170944000002311240007277776076800002224258520167388849766400000256204484017332394393600000261551121004333098598400000002740329146112660563558400000002810888869450418352160768000000029304888344611713860501504000000283088417619937397019545436160000000
Uporaba
Praštevilski testi
V praksi je Wilsonov izrek neuporaben kot praštevilski test, saj je izračun modula za velik izračunljivo zelo kompleksen, obstajajo pa tudi veliko hitrejši praštevilski testi (še poskusno deljenje je veliko hitreje).
Kvadratni ostanki
Z uporabo Wilsonovega izreka za poljubno praštevilo se lahko preoblikuje levo stran kongruence:
da se dobi kongruenco:
To postane:
ali:
To dejstvo se lahko uporabi za dokaz dela slavnega rezultata: za poljubno praštevilo , za katero velja , je število (−1) kvadrat (kvadratni ostanek) . Predpostavi se, da je za neko celo število . Potem se zgoraj lahko vzame in sklepa, da je kongruentno .
Praštevilske formule
Wilsonov izrek se uporablja tudi za konstrukcijo praštevilskih formul, toda je prepočasen za praktično uporabo.
p-iška funkcija gama
Wilsonov izrek se uporablja za definiranje p-iške funkcije gama.
Gaussova posplošitev
Carl Friedrich Gauss je dokazal, da velja:
kjer predstavlja liho praštevilo in naravno število. Vrednosti od za produkt so tiste, kjer je primitivni koren modula .
To se še naprej posploši v dejstvo, da je v poljubni končni Abelovi grupi ali produkt vseh elementov identiteta ali je natanko en element reda 2 (a ne oboje). V zadnjem primeru, je produkt vseh elementov enak .
Glej tudi
Wilsonovo praštevilo tabela kongruenc
Sklici
Viri
Delo Aritmetične preiskave (Disquisitiones Arithmeticae) je bilo prevedeno iz Gaussove ciceronske latinščine v angleščino in nemščino. Nemška različica vsebuje vse njegove zapise o teoriji števil: vse dokaze kvadratne recipročnosti, določitev znaka Gaussovih vsot, raziskovanja bikvadratne recipročnosti in neobjavljene opombe. , na softouch.on.ca , izvirnik na Internet Archive
; glej str. 114. Vacca navaja Leibnizeve matematične rokopise, ki jih hrani Kraljeva javna knjižnica v Hannovru, Nemčija, zvezek 3 B, sveženj 11, stran 10. . V tretji izdaji Waringovih Algebrajskih meditacij (1782) se Wilsonov izrek pojavlja kot problem 5 na strani 380. Na tej strani Waring navaja: »Hanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger.« (Najslavnejši in najbolj spreten v matematiki, ščitonosec John Wilson, je našel to najbolj elegantno lastnost praštevil.)
Zunanje povezave
Kategorija:Modularna aritmetika Kategorija:Izreki teorije števil Kategorija:Izreki o praštevilih Kategorija:Praštevilski testi