Teoríja potenciála (tudi potenciálna teoríja) je v matematiki in matematični fiziki preučevanje harmoničnih funkcij. Posveča se preučevanju značilnosti parcialnih diferencialnih enačb v območjih z dokaj gladko mejo z uvedbo posebnih vrst integralov, ki so odvisni od določenih parametrov, imenovanih potenciali. Teorija potenciala se imenuje tudi teorija brezvrtinčnih (potencialnih, konservativnih) vektorskih polj in se ukvarja z matematičnimi in fizikalnimi osnovami konservativnih (brezvrtinčnih) polj sil. Osrednji elementi teorije so potencial in njegove krajevne izpeljanke, pri katerih je treba razlikovati med notranjostjo telesa (z njegovim električnim nabojem ali porazdelitvijo mase) in zunanjim prostorom brez vira (Laplaceova enačba).

thumb|right|Mreža metode končnih elementov in potencial v vsaki točki

Izraz »teorija potenciala« je bil skovan v fiziki 19. stoletja, ko je bilo ugotovljeno, da je mogoče dve temeljni sili narave, znani v tistem času, in sicer gravitacijo in elektrostatično silo, modelirati z uporabo funkcij, imenovanih gravitacijski potencial in elektrostatični potencial, za kateri velja Poissonova enačba ali v vakuumu Laplaceova enačba. Sedaj se ve, da je narava bolj zapletena – enačbe, ki opisujejo sile, so sistemi nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb, kot so Einsteinove enačbe polja in Jang-Millsove enačbe, ter da Laplaceova enačba velja le kot mejni primer. Kljub temu je izraz »teorija potenciala« ostal kot priročen izraz za opisovanje preučevanja funkcij, ki zadoščajo Laplaceovi enačbi.

Obstaja precejšnje prekrivanje med teorijo potenciala in teorijo Poissonove enačbe do te mere, da je nemogoče razlikovati med tema dvema področjema. Razlika je bolj v poudarku kot predmetu in temelji na naslednjem razlikovanju: teorija potenciala se osredotoča na značilnosti funkcij v nasprotju z značilnostmi enačbe. Za rezultat o singularnostih harmoničnih funkcij bi se na primer reklo, da pripada teoriji potenciala, medtem ko bi se za rezultat o tem, kako je rešitev odvisna od mejnih podatkov, reklo, da pripada teoriji Poissonove enačbe. To ni težko in se lahko hitro razlikuje, v praksi se obe področji precej prekrivata, pri čemer se metode in rezultati enega uporabljajo na drugem.

Moderna teorija potenciala je tesno povezana tudi z verjetnostnim računom in teorijo markovskih verig. V zveznem primeru je to tesno povezano z analitično teorijo. V primeru končnega prostora stanj je to povezavo mogoče uvesti z uvedbo električnega kroga na prostoru stanj, z električnim uporom med točkami, ki je obratno sorazmeren z verjetnostmi prehoda, in gostoto sorazmerno s potenciali. Tudi v končnem primeru ima analogni I-K Laplaceovega operatorja v teoriji potenciala svoje načelo maksimuma, načelo edinstvenosti, načelo ravnovesja in druge.

Abstraktna teorija potenciala je posplošitev teorije potenciala na abstraktne topološke prostore. Kot glavna abstraktna teorija se uporablja koncept harmoničnega prostora – poljubnega topološkega prostora, opremljenega s snopom zveznih realnih funkcij, ki imajo (aksiomatsko fiksne) značilnosti, značilne za harmonične funkcije.

Med pomembne uporabe teorije potenciala spadajo nekatera skalarna polja, ki so učinkovita v naravi, zlasti gravitacijsko polje ter električna in magnetna polja. V dinamiki tekočin (aerodinamiki in hidrodinamiki) se lahko tokovna polja opišejo kot potencialna polja, tako kot mnogi procesi v atomski fiziki in modeliranja natančne oblike Zemlje.

Zgodovina

Teorija potenciala je sprva nastala kot del nebesne mehanike. Ta je preučevala značilnosti privlačnih sil, ki delujejo po splošnem gravitacijskem zakonu. V izjavi tega zakona, ki jo je podal Isaac Newton leta 1687, so edine upoštevane sile sile medsebojnega privlačenja, ki delujejo na dva delca z maso majhne velikosti ali dve točkasti telesi. Te sile so neposredno premo sorazmerne s produktom mas teh delcev in obratno sorazmerne s kvadratom razdalje med njima. Tako je bil prvi in najpomembnejši problem z vidika nebesne mehanike in geodezije preučevanje privlačnih sil snovne točke s končnim gladkim snovnim telesom – sferoidom in še posebej elipsoidom (ker ima veliko nebesnih teles takšno obliko). Carl Friedrich Gauss je že imel v mislih uporabe za določanje oblike geoida.

Začetki teorije potenciala ležijo v članku Gottfrieda Wilhelma Leibniza iz leta 1686. V njem je Leibniz določil »gibalno silo« ali vis motrix telesa, ki je sorazmerna s kvadratom njegove hitrosti. Ker je prevzel teorijo nihala Christiaana Huygensa, je bilo očitno, da se gibalna sila ohranja, kar je tudi jasno navedel.

Jakob Hermann je imenoval silo, ki povzroča gibanje teles, vis motrix in jo je razdelil v dva razreda – viva (živa sila) in mortua (mrtva sila). Živa sila je bila povezana z dejanskim gibanjem, mrtva sila pa ni povzročala nobenega dejanskega gibanja, razen če se je nadaljevalo ali ponavljalo, na primer v gravitaciji centrifugalnih sil. Živo silo je imenoval preprosto vis, mrtvo silo pa sollicitatio – »sunek«, »impulz«. To sta bili aktivni sili ali vires activae. Vis passiva ni povzročala gibanj ali težje po njem, temveč mu je nasprotovala in se je imenovala vis inertiae (»vztrajnostna«, oziroma »inercijska sila«).

Najzgodnejša uporaba potencialov, vključno z imenom, izhaja iz dela Hidrodinamika (Hydrodinamica) Daniela Bernoullija iz leta 1738. Bernoulli je uvedel koncept z ugotovitvijo, da je mogoče v enačbah gibanja tekočine dobiti sile z odvajanjem skalarne funkcije. K nastanku in začetnemu razvoju teorije so največ prispevali Newton, Leibniz, Hermann, Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange, Pierre-Simon Laplace in Adrien-Marie Legendre. Lagrange je zlasti pokazal, da je polje gravitacijskih sil, kot se imenuje sedaj, potencialno, in uvedel funkcijo, ki jo je kasneje George Green leta 1828 imenoval potencialna funkcija, Gauss pa leta 1840 le potencial.

Metoda potencialov se je z Gaussom začela uporabljati tudi za probleme elektrostatike in magnetizma, za potenciale so začeli upoštevati »mase« (električni naboji, magnetizacija) s poljubnim predznakom. Kot del razvoja teorije v 19. stoletju so se pojavili osnovni problemi oziroma naloge mejnih vrednosti: Dirichletov problem, Neumannov problem, Robinov problem, problem pometanja mas (metoda pometanja (balayage)). Za reševanje zgoraj omenjenih problemov v primeru domen z dovolj gladkimi mejami so se izkazale za učinkovite nekatere vrste potencialov, to so posebni razredi od parametrov odvisnih integralov, kot so volumetrični potenciali porazdeljene mase, enostavnoplastni in dvoplastni potenciali, logaritemski potenciali, Greenovi potenciali itd. Aleksander Mihajlovič Ljapunov in Vladimir Andrejevič Steklov sta pomembno prispevala k preučevanju osnovnih problemov mejnih vrednosti ob koncu 19. stoletja.

Rezultati teorije so bili v začetku 20. stoletja močno posplošeni z uporabo aparata teorije mere in posplošenih funkcij. Kasneje so bile analitične, harmonične in podharmonične funkcije in orodja, ki uporabljajo teorijo verjetnosti, vključena v teorijo potenciala.

V 1950-ih je bila na podlagi metod topologije in funkcionalne analize razvita aksiomatska abstraktna teorija potenciala.

Simetrija

Uporabno izhodišče in organizacijsko načelo pri študiju harmoničnih funkcij je upoštevanje simetrij Laplaceove enačbe. Čeprav ne gre za simetrijo v običajnem pomenu izraza, se lahko začne z ugotovitvijo, da je Laplaceova enačba linearna. To pomeni, da je temeljni predmet proučevanja v teoriji potenciala linearni prostor funkcij. Ta ugotovitev se bo izkazala za posebej pomembno, ko se bo v poznejšem razdelku obravnavalo pristope funkcijskega prostora k predmetu.

Kar zadeva simetrijo v običajnem pomenu izraza, se lahko začne z izrekom, da so simetrije -razsežne Laplaceove enačbe natanko konformne simetrije -razsežnega evklidskega prostora. To dejstvo ima več implikacij. Najprej se lahko upošteva harmonične funkcije, ki se transformirajo pod ireducibilnimi reprezentacijami konformne grupe ali njenih podgrup (kot sta grupa vrtenj ali translacij). Če se nadaljuje na ta način, se sistematično pridobi rešitve Laplaceove enačbe, ki izhajajo iz ločitve spremenljivk, kot so sfernoharmonične rešitve in Fourierove vrste. Z linearnimi superpozicijami teh rešitev se lahko ustvari velike razrede harmoničnih funkcij, za katere je mogoče dokazati, da so goste v prostoru vseh harmoničnih funkcij pod ustreznimi topologijami.

Drugič, konformno simetrijo se lahko uporabi za razumevanje klasičnih trikov in tehnik za generiranje harmoničnih funkcij, kot sta Kelvinova transformacija in metoda slik.

Tretjič, lahko se uporabi konformne transformacije za preslikavo harmoničnih funkcij v eni domeni v harmonične funkcije v drugi domeni. Najpogostejši primerek takšne konstrukcije je povezovanje harmoničnih funkcij na krogu s harmoničnimi funkcijami na polravnini.

Četrtič, lahko se uporabi konformno simetrijo za razširitev harmoničnih funkcij na harmonične funkcije na konformno ravnih Riemannovih mnogoterostih. Morda je najenostavnejša taka razširitev obravnavati harmonično funkcijo, definirano na celotnem vektorskem prostoru (z možno izjemo diskretne množice singularnih točk), kot harmonično funkcijo na -razsežni sferi. Lahko se zgodijo tudi bolj zapletene razmere. Lahko se na primer dobi višjerazsežni analog teorije Riemannovih ploskev tako, da se izrazi harmonično funkcijo z več vrednostmi kot funkcijo z eno vrednostjo na razvejanem pokrovu ali pa se lahko obravnavajo harmonične funkcije, ki so invariantne pod diskretno podgrupo konformne grupe kot funkcije na mnogopovezani mnogoterosti ali orbiterosti.

Dve razsežnosti

Iz dejstva, da je grupa konformnih transformacij neskončnorazsežna v dveh razsežnostih in končnorazsežna za več kot dve razsežnosti, se lahko domneva, da se teorija potenciala v dveh razsežnostih razlikuje od teorije potenciala v drugih razsežnostih. To je pravilno in dejansko, ko se spozna, da je poljubna dvorazsežna harmonična funkcija realni del kompleksne analitične funkcije, se vidi, da je predmet dvorazsežne teorije potenciala v bistvu enak predmetu kompleksne analize. Zato se, ko se govori o teoriji potenciala, osredotoči na izreke, ki veljajo v treh ali več razsežnostih. V zvezi s tem je presenetljivo dejstvo, da se mnogi rezultati in koncepti, prvotno odkriti v kompleksni analizi (kot so Schwarzev izrek, Morerov izrek, Casorati-Weierstrassov izrek, Laurentova vrsta in klasifikacija singularnosti kot odpravljivih singularnosti, polov in bistvenih singularnosti), posplošujejo do rezultatov harmoničnih funkcij v poljubni razsežnosti. Če se preuči, kateri izreki kompleksne analize so posebni primeri izrekov teorije potenciala v poljubni razsežnosti, se lahko dobi občutek, kaj točno je posebnega pri kompleksni analizi v dveh razsežnostih in kaj je preprosto dvorazsežni primerek bolj splošnih rezultatov.

Krajevno obnašanje

Pomembna tema v teoriji potenciala je preučevanje krajevnega obnašanja harmoničnih funkcij. Morda je najosnovnejši izrek o krajevnem obnašanju izrek o regularnosti za Laplaceovo enačbo, ki pravi, da so harmonične funkcije analitične. Obstajajo rezultati, ki opisujejo krajevno strukturo nivojskih množic harmoničnih funkcij. Obstaja Bôcherov izrek, ki označuje obnašanje izoliranih singularnosti pozitivnih harmoničnih funkcij. Kot je bilo omenjeno v zadnjem razdelku, se lahko izolirane singularnosti harmoničnih funkcij klasificira kot odstranljive singularnosti, pole in bistvene singularnosti.

Neenakosti