Véktorski račún ali véktorska analíza je matematična veja, ki se ukvarja z odvajanjem in integriranjem vektorskih polj, v glavnem v trirazsežnem evklidskem prostoru . Izraz vektorski račun se včasih rabi kot sopomenka za širši pojem analize več spremenljivk, ki zajema vektorski račun ter parcialno odvajanje in večkratno integracijo. Vektorski račun ima pomembno vlogo v diferencialni geometriji in pri preučevanju parcialnih diferencialnih enačb. Široko se rabi v fiziki in inženirstvu, zlasti pri opisu elektromagnetnih polj, gravitacijskih polj in pretoka tekočin.
Zgodovina
Vektorski račun se je zgodovinsko razvil nekaj let po tem ko je James Clerk Maxwell (1831–1879) formuliral svoje delo v teoriji elektromagnetizma. Ko je napisal svojo razpravo o elektriki in magnetizmu leta 1873, vektorski račun še ni bil na voljo.
Vektorski račun sta iz teorije kvaternionov razvila Josiah Willard Gibbs (1839–1903) in Oliver Heaviside (1850–1925) proti koncu 19. stoletja, večino zapisov in terminologije pa sta vzpostavila Gibbs in Edwin Bidwell Wilson (1879–1964) v svoji knjigi Vektorska analiza (Vector Analysis) iz leta 1901, čeprav so na tem področju pionirji bili že zgodnejši matematiki, kot so: Gerolamo Cardano (1501–1576), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Isaac Newton (1643–1727), Caspar Wessel (1745–1818), Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Jean-Robert Argand (1768–1822), John Warren (1796–1852), Claude-Victor Mourey (1791?–1830?), Giusto Bellavitis (1803–1880), William Rowan Hamilton (1805–1865) in Hermann Günther Grassmann (1809–1877).
V svoji standardni obliki z rabo vektorskega produkta vektorski račun ne posplošuje na višje razsežnosti, ampak to počne alternativni pristop geometrijske algebre, ki rabi zunanji produkt (za več informacij glej spodaj).
Osnovni objekti
Skalarna polja
Skalarno polje gladko dodeli skalarno vrednost vsaki točki v prostoru. Skalar je matematično število, ki predstavlja fizikalno količino. Zgledi skalarnih polj v rabah vključujejo porazdelitev temperature po prostoru, porazdelitev tlaka v tekočini in kvantna polja s spinom nič (znana kot skalarni bozoni), kot je Higgsovo polje. Ta polja so predmet teorije skalarnega polja.
Vektorska polja
Vektorsko polje je gladka dodelitev vektorja vsaki točki v prostoru. Vektorsko polje v ravnini se lahko na primer predstavlja kot zbirko puščic z dano velikostjo in smerjo, od katerih je vsaka pritrjena na točko v ravnini. Vektorska polja se pogosto uporabljajo za modeliranje, na primer, hitrosti in smeri gibajoče se tekočine skozi prostor ali jakosti in smeri neke sile, kot je magnetna ali gravitacijska sila, ko se spreminja od točke do točke. To se lahko na primer rabi za izračun dela, opravljenega na premici.
Vektorji in psevdovektorji
V naprednejših obravnavah se dodatno loči psevdovektorska polja in psevdoskalarna polja, ki so identična vektorskim in skalarnim poljem, le da spremenijo predznak pri preslikavi z obrnjeno usmerjenostjo: na primer, rotor vektorskega polja je psevdovektorsko polje, in če se vektorsko polje zrcali, rotor kaže v nasprotno smer. To razlikovanje je pojasnjeno in podrobneje opisano v geometrijski algebri, kot je opisano spodaj.
Vektorska algebra
Algebrske (nediferencialne) operacije v vektorskem računu se imenujejo vektorska algebra, ki je definirana za vektorski prostor in nato točkostno rabljena na vektorskem polju. Osnovne algebrske operacije so sestavljene iz:
+Zapisi v vektorskem računu operacija zapis opisseštevanje vektorjev seštevanje dveh vektorjev vektorskalarno množenje množenje skalarja in vektorja vektorskalarni produkt množenje dveh vektorjev skalarvektorski produkt množenje dveh vektorjev v (psevdo)vektor
Pogosto se rabita tudi dva mešana produkta: +Mešana produkta vektorskega računa operacija zapis opisskalarni mešani produkt skalarni produkt vektorskega produkta dveh vektorjev skalarvektorski mešani produkt vektorski produkt vektorskega produkta dveh vektorjev vektor
Operatorji in izreki
Diferencialni operatorji
Vektorski račun preučuje različne diferencialne operatorje, definirane na skalarnih ali vektorskih poljih, ki so običajno izraženi z operatorjem del (∇), znanim tudi kot »nabla«. Trije osnovni vektorski operatorji so:
+Diferencialni operatorji v vektorskem računu operacija zapis opis domena/območjegradient meri stopnjo in smer spremembe v skalarnem polju skalarno množenje preslikuje skalarna polja v vektorska poljadivergenca meri skalar vira ali ponora na dani točki v vektorskem polju skalarni produkt preslikuje vektorska polja v skalarna poljarotor meri težnjo k zasuku okrog točke v vektorskem polju v vektorski produkt preslikuje vektorska polja v (psevdo)vektorska polja označuje skalarno polje, pa vektorsko polje
Pogosto se rabita tudi dva Laplaceova operatorja:
+Laplaceova operatorja v vektorskem računu operacija zapis opis domena/območjeLaplaceov operator meri razliko med vrednostjo skalarnega polja in njegovim povprečjem na infinitezimalnih kroglah preslikuje med skalarnimi poljivektorski Laplaceov operator meri razliko med vrednostjo vektorskega polja in njegovim povprečjem na infinitezimalnih kroglah preslikuje med vektorskimi polji označuje skalarno polje, pa vektorsko polje
Količina, imenovana Jacobijeva matrika, je uporabna za preučevanje funkcij, kadar imata tako domena kot območje funkcije več spremenljivk, kot je na primer sprememba spremenljivk med integracijo.
Integralski izreki
Trije osnovni vektorski operatorji imajo ustrezne izreke, ki posplošujejo osnovni izrek infinitezimalnega računa na višje razsežnosti:
+Integralski izreki vektorskega računa izrek izjava opis izrek o gradientu krivuljni integral gradienta skalarnega polja nad krivuljo je enak spremembi skalarnega polja med končnima točkama krivulje in izrek Gaussa in Ostrogradskega integral divergence vektorskega polja nad -razsežnim telesom je enak pretoku vektorskega polja skozi -razsežno zaprto mejno ploskev telesa (Kelvin-Stokesov) izrek o rotorju integral rotorja vektorskega polja nad ploskvijo v je enak kroženju vektorskega polja okrog zaprte krivulje, ki omejuje ploskev označuje skalarno polje, pa vektorsko polje
V dveh razsežnostih se izrek Gaussa in Ostrogradskega in izrek o rotorju zreducirata na Greenov izrek:
+Greenov izrek vektorskega računa izrek izjava opis Greenov izrek integral divergence (ali rotorja) vektorskega polja nad nekim območjem v je enak pretoku (ali kroženju) vektorskega polja nad zaprto krivuljo, ki omejuje območje za divergenco je . Za rotor je in sta funkciji
Rabe
Linearne aproksimacije
Linearne aproksimacije se rabijo za zamenjavo zapletenih funkcij z linearnimi funkcijami, ki so skoraj enake. Če je odvedljiva funkcija z realnimi vrednostmi, se lahko za , ki je blizu , približa s formulo:
Desna stran je enačba ravnine, ki je tangentna na graf funkcije v točki .
Optimizacija
Za zvezno odvedljivo funkcijo več realnih spremenljivk je točka (torej množica vrednosti vhodnih spremenljivk, ki se obravnava kot točka v ) kritična, če so vsi parcialni odvodi funkcije v točki enaki nič ali, kar je enakovredno, če je njen gradient enak nič. Kritične vrednosti so vrednosti funkcije v kritičnih točkah.
Če je funkcija gladka ali vsaj dvakrat zvezno odvedljiva, je lahko kritična točka lokalni maksimum, lokalni minimum ali sedlasta točka. Različne primere se lahko loči z upoštevanjem lastnih vrednosti Hessejeve matrike drugih odvodov.
Po Fermatovem izreku se vsi lokalni maksimumi in minimumi odvedljive funkcije pojavljajo v kritičnih točkah. Zato je za iskanje lokalnih maksimumov in minimumov teoretično dovolj izračunati ničle gradienta in lastne vrednosti Hessejeve matrike v teh ničlah.
Posplošitve
Vektorski račun je mogoče posplošiti tudi na druge 3-mnogoterosti in višjerazsežne prostore.
Različne 3-mnogoterosti
Vektorski račun je sprva definiran za evklidski 3-prostor , ki ima poleg tega, da je zgolj trirazsežni realni vektorski prostor, še dodatno strukturo, in sicer: normo (ki daje pojem dolžine), definirano z notranjim produktom (skalnim produktom), ki nato daje pojem kota, in usmerjenost, ki daje pojem leve in desne usmerjenosti. Te strukture dajejo prostorninsko formo in tudi vektorski produkt, ki se pogosto rabi v vektorskem računu.
Gradient in divergenca potrebujeta le skalarni produkt, medtem ko je treba za rotor in vektorski produkt upoštevati tudi usmerjenost koordinatnega sistema.
Vektorski račun je mogoče definirati na drugih trirazsežnih realnih vektorskih prostorih, če imajo skalarni produkt (ali bolj splošno simetrično nedegenerirano formo) in usmerjenost to je manj podatkov kot izomorfizem evklidskega prostora, saj ne zahteva nabora koordinat (referenčnega sistema), kar odraža dejstvo, da je vektorski račun invarianten glede na zasuke (specialna ortogonalna grupa ).
Bolj splošno se lahko vektorski račun definira na poljubni trirazsežni usmerjeni Riemannovi mnogoterosti ali bolj splošno na psevdoriemannovski mnogoterosti. Ta struktura preprosto pomeni, da ima tangentni prostor v vsaki točki skalarni produkt (bolj splošno simetrično nedegenerirano formo) in usmerjenost oziroma bolj globalno, da obstaja simetrični nedegenerirani metrični tenzor in usmerjenost, in deluje, ker je vektorski račun definiran v smislu tangentnih vektorjev v vsaki točki.
Druge razsežnosti
Večino analitičnih rezultatov je v bolj splošni obliki enostavno razumeti z rabo mehanizmov diferencialne geometrije, katere podmnožico tvori vektorski račun. Gradient in divergenca se takoj posplošita na druge razsežnosti, prav tako izrek o gradientu, izrek Gaussa in Ostrogradskega in Laplaceov operator (kar vodi do harmonične analize), medtem ko se rotor in vektorski produkt ne posplošujeta tako neposredno.
S splošnega vidika se različna polja v (trirazsežnem) vektorskem računu enotno obravnavajo kot -vektorska polja: skalarna polja so 0-vektorska polja, vektorska polja so 1-vektorska polja, psevdovektorska polja so 2-vektorska polja in psevdoskalarna polja so 3-vektorska polja. V višjih razsežnostih obstajajo dodatne vrste polj (skalar, vektor, psevdovektor ali psevdoskalar, ki ustreza , , ali razsežnostim, kar je izčrpno v razsežnosti 3), zato ni mogoče delati samo s (psevdo)skalarji in (psevdo)vektorji.
V poljubni razsežnosti, ob predpostavki nedegenerirane forme, je gradient skalarne funkcije vektorsko polje in divergenca vektorskega polja je skalarna funkcija, vendar le v razsežnosti 3 ali 7 (in trivialno v razsežnosti 0 ali 1) je rotor vektorskega polja vektorsko polje in samo v razsežnostih 3 ali 7 je mogoče definirati vektorski produkt (posplošitev v drugih razsežnostih zahtevajo bodisi vektorjev, da se dobi 1 vektor, ali pa so alternativne Liejeve algebre, ki so bolj splošni antisimetrični bilinearni produkti). Posplošitev gradienta in divergence ter kako je mogoče posplošiti rotor je podrobno opisano v članku o rotorju na kratko, rotor vektorskega polja je bivektorsko polje, ki se ga lahko interpretira kot specialno ortogonalno Liejevo algebro infinitezimalnih zasukov; vendar tega ni mogoče identificirati z vektorskim poljem, ker se razsežnosti razlikujejo obstajajo 3 razsežnosti zasukov v 3 razsežnostih, vendar 6 razsežnosti zasukov v 4 razsežnostih (in na splošno razsežnosti zasukov v razsežnostih).