Kolobar je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati in množiti, pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici celih števil. Kolobar je torej neke vrste posplošitev množice celih števil.
Definicija Kolobar je množica K skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene značilnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti in za to operacijo ne zahtevamo dodatnih značilnosti: a − b = a + (−b).
Tako opremljeno množico označimo kot (K, +, ·)
Kratka definicija Kolobar je množica (K, +, ·) v kateri velja:
(K, +) je Abelova grupa (K, ·) je polgrupa operaciji + in · povezujeta zakona distributivnosti: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (a + b) · c = (a · '''c) + (b · c)
Daljša definicija Kolobar je množica (K, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c): komutativnost za seštevanje: a + b = b + a asociativnost za seštevanje: a + (b + c) = (a + b) + c obstaja nevtralni element za seštevanje (označimo ga z oznako 0): a + 0 = 0 + a = a poljubni element a ima nasprotni element −a, tako da velja: a + (−a) = (−a) + a = 0
asociativnost za množenje: a · (b · c) = (a · b) · c distributivnost (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (a + b) · c = (a · c) + (b · c)
Vrste kolobarjev
Če je poleg teh treh značilnosti (K, ·) komutativna polgrupa, imenujemo (K, +, ·) komutativni kolobar (tudi Abelov kolobar).
Če ima (K, ·) enoto (nevtralni element za množenje), je (K, +, ·) kolobar z enoto ali unitalni kolobar.
Če je (K\{0}, ·) grupa (tj. če za vsak element razen 0 obstaja inverzni element za množenje), potem kolobar (K, +, ·) imenujemo obseg.
Če je (K\{0}, ·) celo Abelova grupa (tj. velja poleg zgoraj navedenega še komutativnost za množenje), kolobar (K, +, ·) imenujemo komutativni obseg (tudi polje).
Značilnosti
Nekatere značilnosti, ki veljajo v vsakem kolobarju: 0 · a = a · 0 = 0 (−1) · a = −a (−a) · b = a · (−b) = −(a · b)
Zgledi
Množica celih števil z operacijama seštevanja in množenja (Z, +, ·) je komutativni kolobar z enoto, ni pa obseg, saj v splošnem nimamo inverza za množenje.
Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·') je komutativni kolobar z enoto in je celo obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.
Tudi množica polinomov z operacijama seštevanja in množenja je komutativni kolobar z enoto, ni pa obseg.
Množica matrik dimenzije n×n'' je zgled za nekomutativni kolobar (za običajno seštevanje in množenje matrik). Tudi ta kolobar ni obseg.
Glej tudi
algebrska struktura grupa obseg
Kategorija:Algebrske strukture