Parcialni odvod je v matematiki odvod funkcije z več spremenljivkami po le eni od teh spremenljivk, kjer se ostale jemlje kot konstante (nasprotno kot v totalenm odvodu, kjer se lahko spreminjajo vse spremenljivke). Parcialni odvodi se rabijo v vektorskem računu in diferencialni geometriji.
Parcialni odvod funkcije po spremenljivki je lahko označen z naštetim:
Včasih je za parcialni odvod od po spremenljivki označen z . Ker ima na splošno parcialni odvod enake argumente kot izvorna funkcija, se funkcionalna odvisnost včasih eksplicitno označi s spodnjim zapisom:
Simbol, ki označuje parcialni odvod je ∂. Eno izmed prvih uporab tega simbola v matematiki si lasti Marquis de Condorcet iz leta 1770, ko ga je rabil za parcialne razlike. Moderni parcialni simbol je naredil Adrien-Marie Legendre (1786), a ga je kasneje nehal uporabljati. Leta 1841 ga je ponovno vpeljal Carl Gustav Jakob Jacobi.
Uvod
Predpostavi se, da je funkcija več spremenljivk. Na primer
Graf te funkcije oriše ploskev v evklidskem prostoru. Skozi vsako točko na tej ravnini gre neskončno tangent. Parcialno odvajanje je dejanje izbire ene od teh črt in izračunanje njenega naklona. Po navadi največ pozornosti pritegnejo črte, ki so vzporedne na ravnino in te, ki so pravokotne na ravnino . (kar privede do računanja z eno konstantno spremenljivko: ali pa ).
Da se odkrije naklon tangente funkcije na in vzporednico na ravnino , potem je treba obravnavati kot konstanto. Na desni sta prikazana graf in ta ravnina. Spodaj se vidi, kako izgleda funkcija na ravnini . Z iskanjem odvoda enačbe, medtem ko se predpostavi, da je konstanten, se odkrije, da je naklon funkcije na točki enak:
Torej je na naklon s substitucijo enak 3. Iz tega sledi:
na točki . Torej je parcialni odvod od po na enak 3, kot je tudi prikazano na grafu.
Definicija
Osnovna definicija
Funkcija se lahko spremeni v družino funkcij ene spremenljivke, ki je indeksirana z ostalimi spremenljivkami:
Z drugimi besedami, vsaka vrednost definira funkcijo, označeno z , ki je funkcija ene spremenljivke . To je:
V tem razdelku podpisani zapis označuje funkcijski kontingent na stalno vrednost in ne parcialnega odvoda.
Ko je vrednost izbrana naj je enaka , potem označuje funkcijo ki izriše krivuljo na ravnini :
V tem izrazu je konstanta, ne spremenljivka, torej je funkcija le ene realne spremenljivke, ki se imenuje . Sočasno se spremeni tudi definicija odvoda funkcije za eno spremenljivko:
Zgornji postopek se lahko naredi za poljubni . Če se združi skupaj odvode v eno funkcijo, nastane funkcija, ki opiše spremembe od v smeri :
To je parcialni odvod od po . Tukaj je zaobljen , ki se imenuje parcialno-odvodni simbol. Da se ga loči od črke , se pogosto imenuje »parcial«.
V splošnem je parcialni odvod -arne funkcije ) v smeri na točko definiran kot:
V zgornjem diferenčnem kvocientu so vse spremenljivke razen stalne. Ta izbira stalne vrednosti določi funkcijo ene spremenljivke:
in po definiciji:
Z drugimi besedami različne diferenčne izbire od indeksirajo družino funkcij z eno spremenljivko kot v zgornjem primeru. Ta izraz tudi pokaže, da je čas izračunavanja parcialnih odvodov veliko manjši kot odvodov ene spremenljivke.
Pomemben primer funkcije več spremenljivk je primer funkcije s skalarno vrednostjo na intervalu v evklidskem prostoru (tj. na ali ). V tem primeru ima parcialni odvod glede na vsako spremenljivko . Na točki te parcialni odvodi definirajo vektor:
Ta vektor se imenuje gradient od na . Če je odvedljiva na vsaki točki na nekem intervalu, potem je gradient funkcija z vektorsko vrednostjo, ki zavzame točko do vektorja . Sočasno gradient ustvari vektorsko polje.
Pogosto se malo nepravilno zaradi poenostavitve definira operator delta () v trirazsežnem evklidskem prostoru z enotskimi vektorji tako, kot sledi:
Ali bolj splošno za -razsežni evklidski prostor s koordinatami in enotskimi vektorji :
.
Formalna definicija
Kot navadni odvodi je tudi parcialni odvod definiran z limito. Naj bo odprta podmnožica od in naj bo funkcija. Parcialni odvod funkcije na točki glede na -to spremenljivko je definiran kot:
Tudi če vsi parcialni odvodi obstajajo na dani točki , ni nujno, da je funkcija tukaj zvezna. A če vsi parcialni odvodi obstajajo v bližini točke in so tam zvezni, potem je popolnoma odvedljiva v okolici in totalni odvod je zvezen. V tem primeru se reče, da je funkcije. To se lahko rabi za posplošitev vektorskih vrednosti funkcij , s pazljivo rabo sestavnega dela argumenta.
Parcialni odvod se lahko rabi kot druga funkcija, ki je definirana na in se lahko ponovno delno odvaja. Če so vsi mešani parcialni odvodi drugega reda zvezni na točki (ali množici), potem je definiran kot funkcije na tej točki (ali na tej množici); v takem primeru se lahko parcialni odvodi izmenjajo po Clairautovem izreku:
Zgledi
Geometrija
thumb|right|220px|Prostornina stožca je odvisna od višina in polmera.
Prostornina stožca je odvisna od njegove višine in polmera , kar je v skladu s formulo:
Parcialni odvod od po spremenljivki je:
kar predstavlja hitrost spremembe stožčeve prostornine, če se spreminja njegov polmer, višina pa ostaja konstantna. Parcialni odvod po spremenljivki je enak , kar predstavlja, s kakšno pogostostjo se spreminja prostornina stožca, če se spreminja višino, polmer pa ostaja konstanten.
Za razliko od navedenega, je totalni odvod od zaporedoma po spremenljivkah in takšen:
in:
Razlika med totalnim in parcialnim odvodom je odprava posrednih odvisnosti med spremenljivkami v parcialnih odvodih.
Če morajo (zaradi raznih razlogov) razmerja v stožcu ostajati enaka, torej je razmerje med višino in polmerom v stalnem razmerju :
Kar poda totalni odvod po spremenljivki :
kar se poenostavi v:
Podobno je tudi totalni odvod po enak:
Totalni odvod prostornine po obeh spremenljivkah in kot skalarna funkcija obeh spremenljivk je podana v gradientu:
Optimizacija
Parcialni odvodi se pojavijo v kateremkoli analiznem optimizacijskem problemu z izbiro več kot ene spremenljivke. Na primer, v ekonomiji si želi podjetje povečati dobiček na maksimalno vrednost s spremembo dveh različnih spremenljivk in kot vnos. Pogoji prvega reda za optimizacijo so . Ker bosta oba parcialna odvoda in oba funkciji obeh argumentov in , bosta oba pogoja prvega reda oblikovala sistem dveh enačb z dvema neznankama.
Termodinamika, kvantna mehanika in matematična fizika
Parcialni odvodi se pojavijo tudi v termodinamičnih enačbah kot na primer Gibbs-Duhemova enačba, v kvantni mehaniki Schrödingerjeva valovna enačba in v ostalih enačbah matematične fizike. Tukaj so konstantne spremenljivke v parcialnih odvodih lahko razmerja preprostih spremenljivk, kot na primer molski delež v sledečem primeru Gibbsovih energij v ternarnem mešalnem sistemu:
Izraženi molski deleži komponent funkcij od ostalih molskih deležev in binarnih molskih deležev komponent:
Diferencialne kvociente se lahko oblikuje kot konstantna razmerja (kot prej navedene):
Razmerja , , molskih deležev se lahko zapišejo za ternarne in multikomponentne sisteme.
ki se lahko rabijo za rešitev parcialnih diferencialnih enačb, kot:
Ta enakost se lahko preoblikuje tako, da so diferencialni kvocienti molskih deležev na eni strani.
Sprememba velikosti slike
Parcialni odvodi so tudi ključnega pomena pri algoritmih za spremembo velikosti slike. Splošno znani kot rezbarjenje šivov, morajo te algoritmi vsakemu pikslu prirediti določeno numerično 'energijo', da opišejo nepodobnost med ortogonalnimi piksli. Algoritem kasneje progresivno odstrani vrste ali stolpce z najnižjo energijo. Formula, ki opiše pikslovo energijo (velikost gradienta na pikslu) je zelo odvisna od parcialnih odvodov.
Ekonomija
Parcialni odvodi igrajo ključno vlogo tudi v ekonomiji, kjer večino funkcij opiše več spremenljivk. Na primer funkcija družbene potrošnje je definirana s spremenljivkami: znesek, ki je porabljen za potrošniško blago, dohodek, bogastvo ... Mejna nagnjenost k porabi je potem parcialni odvod potrošniške funkcije glede na prihodek.
Zapis
Za navedene primere, naj bo funkcija v in .
Parcialni odvodi prvega reda:
Parcialni odvodi drugega reda:
Mešani odvodi drugega reda:
Parcialni in mešani odvodi višjih redov:
Ko se obravnavajo funkcije z več spremenljivkami in so te spremenljivke odvisne druga od druge, je treba določiti, katere spremenljivke bodo ostale konstantne. Na področjih, na primer pri statistični mehaniki, je parcialni odvod od glede na , kjer sta in konstantna, pogosto izražen:
Zaradi jasnosti in preprostosti zapisa se včasih napačno funkcija parcialnega odvoda in vrednost funkcije na določeni točki zapiše zraven funkcijskih argumentov v Leibnizevem zapisu. Torej se izraz
rabi za funkcijo, medtem ko se
rabi za vrednost funkcije na točki . A problem nastane, ko se želi zapisati parcialni odvod na točki . V takšnem primeru pa se mora funkcija izraziti kot:
ali kot:
da bi se upoštevalo Leibnizev zapis. A v takšnem primeru je bolj priporočljivo, če se uporabi Eulerjev zapis z diferencialnim operatorjem za simbol parcialnega odvoda glede na -to spremenljivko. Na primer lahko se zapiše za zgornji opisan primer, medtem ko izraz predstavlja parcialni odvod funkcije glede na 1. spremenljivko.
Za parcialne odvode višjih redov se funkcija parcialnega odvoda glede na -to spremenljivko zapiše . To je enako , saj so spremenljivke zapisane v vrstnem redu, kot so vzeti odvodi in torej v obratnem redu kot so v kompozitumu. Seveda Clairautov izrek pravi, da velja tedaj, ko so v funkciji zmerni pogoji.
Parcialni odvodi višjih redov
Parcialni odvodi drugih in višjih redov so definirani analogno z odvodi višjih redov nespremenljivih funkcij. Za funkcijo je »lastni« parcialni odvod drugega reda glede na preprosto parcialni odvod parcialnega odvoda (oba glede na ):Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.
Križni parcialni odvod glede na in se določi z odvzemom parcialnega odvoda funkcije glede na in kasneje z odvzemom parcialnega odvoda rezultata glede na , da se dobi:
Schwarzev izrek pravi: če so odvodi drugega reda zvezni, potem izraz za križni parcialni odvod ne vpliva, glede na katero spremenljivko se računa parcialni odvod. Torej:
oziroma ekvivalentno .
Lastni in križni parcialni odvodi se pojavijo v Hessejevi matriki, ki se rabi v pogojih drugega reda v optimizacijskih problemih.
Glej tudi
d'Alembertianov operator odvod kompozituma kodri (matematika) smerni odvod divergenca zunanji odvod iterirani integral Jacobijeva matrika in determinanta Laplaceov operator analiza več spremenljivk simetrija sekundarnih odvodov pravilo trojnega produkta, znano tudi kot ciklično verižno pravilo
Opombe
Sklici
Zunanje povezave
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) , "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Kategorija:Matematična analiza