Kvadrátno iracionálno števílo (redkeje tudi kvadrátni súrd) je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker se lahko iz kvadratne enačbe ulomke poniči z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, se lahko reče, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:
s celimi koeficienti , in in z od nič različno diskriminanto . Kvadratna iracionalna števila so oblike:
za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa se lahko v splošnem zapiše kot:
kjer ni popolni kvadrat.
To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.
Kvadratna iracionalna števila z danim tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.
Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil
Enočlene oblike
Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:
ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila :
Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:
prazen za števila oblike : , , , , , , , , ..., od katerih so praštevila : , , , , , , , ... in sestavljena : , , , , , , , , ... Za ta števila tako velja:
na primer 1 za , 1,1,1 za , 1,2,1 za , ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike , imajo neprazen niz :
, , , , , , , , , , , , , , , ...
V splošnem tako velja:
Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom :
itd.
Števila, katerih perioda se začne:
z 2 : , , , , , , , ...,
s 3 : , , , , , , , ...,
s 4 : , , , , , , , ...,
s 5 : , , , , , , , ...,
s 6 : , , , , , , , ...,
s 7 : , , , , , , , ...,
z 8 : , , , , , , , ...,
z 9 : , , , , , , , ...
Dvočlene oblike
Druga kvadratna iracionalna števila, kjer ni kvadratno število:
(število zlatega reza),
Če je kvadratno število in , je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:
To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov – če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.
Splošne oblike
Druge oblike
Poseben primer kvadratnih iracionalnih števil so rešitve Fermat-Pellove enačbe.
Glej tudi
obseg algebrskih števil periodični verižni ulomek omejeni delni količniki kvadratno celo število
Zunanje povezave
Računalo verižnih ulomkov za kvadratna iracionalna števila Dokaz, da e ni kvadratno iracionalno število na PlanetMath
Kategorija:Teorija števil