Hermann Klaus Hugo Weyl, nemški matematik in fizik, * 9. november 1885, Elmshorn pri Hamburgu, Prusija, Nemško cesarstvo (sedaj Nemčija), † 8. december 1955, Zürich, Švica.
Čeprav je Weyl večino svojega življenja preživel v Zürichu in nato v Princetonu, New Jersey, je povezan z matematično tradicijo Univerze v Göttingenu, ki sta jo predstavljala Hilbert in Minkowski. Njegove raziskave so zelo vplivale na teoretično fiziko, kot tudi na čista področja, na primer na teorijo števil. Velja za enega najvplivnejših matematikov 20. stoletja in za pomembnega člana Inštituta za višji študij v času prvih let njegovega obstaja.
Objavil je strokovna in poljudna dela o prostoru, času, snovi, filozofiji, logiki, simetriji in zgodovini matematike. Med prvimi je razumel spoj splošne teorije relativnosti z zakoni elektromagnetizma. Čeprav noben matematik njegove generacije ni zaobjel Poincaréjevega ali Hilbertovega 'univerzalizma', se je Weyl temu zelo približal. Atiyah je poudaril, da kadar je pregledoval kakšno matematično snov, je ugotovil, da ga je Weyl prehitel.
Življenje in delo
Gimnazijo Christianeum je obiskoval v Altoni v Hamburgu, kjer je že tam opozoril na svoj matematični dar.Primerjaj Elsner, str. 3–15. Ravnatelj Hilbert, ga je napotil v Göttingen k svojemu bratrancu v uk. Med letoma 1904 in 1908 je študiral matematiko in fiziko v Göttingenu in Münchnu. Leta 1908 je doktoriral pod Hilbertovim mentorstvom z dizertacijo Singularne integralske enačbe s posebnim upoštevanjem Fourierovih integralskih izrekov (Singuläre Integralgleichungen mit besonder Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems). Leta 1910 je habilitiral v privatnega docenta s temo O navadnih diferencialnih enačbah s singularnostmi in pripadajočimi razvoji poljubnih funkcij (Über gewöhnliche Differentialgleicklungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen). Ob Hilbertu in Kleinu je postal eden vodilnih tedanjih matematikov. V Göttingenu je ostal do leta 1913, ko se je preselil v Zürich. Tam je na politehniški visoki šoli (ETH) prevzel katedro za geometrijo. V tem času je na ETH delal Einstein in razdeloval podrobnosti splošne teorije relativnosti. Weyl in Einstein sta postala prijatelja. Einstein je na Weyla trajno vplival, saj se je nadvse navdušil nad matematično fiziko in diferencialno geometrijo. Leta 1918 je objavil svoje vplivno delo Prostor, čas, snov (Raum, Zeit, Materie) o splošni teoriji relativnosti. V letu 1921 je srečal Schrödingerja, ki je tedaj postal redni profesor na Univerzi v Zürichu. Postala sta dobra prijatelja.
Med letoma 1928 in 1929 je bil Weyl gostujoči profesor na Univerzi Princeton. Najprej je zavrnil povabilo, da bi se vrnil v Göttingen, kjer bi nasledil Kleina. Od leta 1930 je predaval na Univerzi v Göttingenu, kjer je prevzel za Hilbertom, ki je odšel v pokoj, vodstvo matematičnega inštituta. Tukaj je vzdržal do leta 1933. Tega leta je za mnogimi svojimi kolegi in za Einsteinom emigriral v ZDA, še posebej zato, ker je bila njegova žena judinja. V ZDA je do upokojitve leta 1951 deloval na novoustanovljenem Inštitutu za višji študij. Po upokojitvi je bil do smrti častni član Inštituta. Do konca življenja je večino časa preživel z ženo v Zürichu, čeprav se je vsako leto za nekaj mesecev vračal v Princeton.
Pomembna so njegova dela iz teorije grup (posebno glede na uporabo v fiziki), nadalje dela iz teorije števil glede na aditivno teorijo števil (Weylova vsota) in še dela iz teorije diferencialnih in integralskih enačb. Znan je tudi v fizikalni kozmologiji kjer je s svojim postulatom vpeljal vrsto kozmološkega načela.
Weyl je pisal s književnim, skoraj pesniškim slogom, ki ni prestal tudi z nujnim prehodom na angleščino. V svojem uvodu v Klasične grupe iz leta 1939 je v svojem običajnem zanosu zapisal, »da so bogovi naložili mojemu pisanju jarem tujega jezika, ki ga ob moji zibelki niso peli,« itd. Po njem »izražanje in oblika pomenita skoraj več kot znanje.«
Iz prvega zakona s Helene Joseph iz Maklenburga, filozofinjo in prevajalko španske književnosti, je imel Weyl dva sinova, Fritza Joachima (1915–1977), ki je tudi sam postal matematik, in Michaela. Po smrti njegove prve žene leta 1948 se je Weyl leta 1950 oženil z Elleno Bär iz Züricha. Najbolj znani Weylovi učenci so: Weinstein, Mohr, Mac Lane in Gentzen.
Matematika ga je zanimala in mamila na vso moč na široko in vsak košček te pisane širine je obogatil. V teoriji analitičnih funkcij je zgradil sodoben pogled na Riemannove ploskve, v teoriji števil je kot močno orodje uporabil trigonometrične vrste, po svoje se je lotil robnih nalog in integralskih enačb, skupaj z Broewerjem je zaoral novo brazdo v osnove matematike, intuicionizem, ki priznava izključno samo konstruktivne dokazovalne postopke. Ukvarjal se je s problemi samopodobnosti fraktalnih množic. Leta 1917, eno leto po nastanku je že predaval o splošni teoriji relativosti.
Weyl je zelo dobro poznal in cenil Plemlja. 21. januarja 1952 mu je v pismu med drugim zapisal: »Zelo sem vesel, da sem po dolgih letih spet slišal o Vas. Od tedaj, od naše skupne matematične mladosti, ko ste objavili čudovito razpravo o Riemannovem problemu o monodromiji in nagrajeni spis o potencialni teoriji, sem Vaš veliki občudovalec. Upam, da ste v dobrem zdravju.«.
Geometrijski temelji mnogoterosti in fizike
V letu 1913 je Weyl objavil delo Predstava Riemannove ploskve (Die Idee der Riemannschen Fläche), v katerem je podal poenoteno obravnavo Riemannovih ploskev, ki je nastala med njegovimi predavanji v jesenskem semestru 1911/12. Tu je uporabil topologijo množic točk, da bi bila teorija Riemannovih ploskev strožja. Ta način je kasneje uporabil pri delu o mnogoterostih. V ta namen je prevzel Brouwerjevo zgodnejše delo v topologiji in prvi uporabil splošno topologijo, da bi tedanjo teorijo Riemannovih ploskev algebrskih funkcij postavil na trdnejše, točne temelje, ki bi zadovoljili Hilbertove zahteve po vsebinski in metodološki strogosti.
Leta 1918 je izšla njegova knjiga o prostoru, času in snovi Prostor, čas, snov (Raum, Zeit, Materie), uspešnica, ki je do leta 1923 doživela kar pet nemških izdaj pa še angleški in francoski (zadnjemu se je Weyl odpovedal, tako svoboden je bil). Za uvod v splošno teorijo relativnosti je na novo osmislil Riemannovo diferencialno geometrijo, zanjo pa je potreboval trdne algebrske in topološke pojme o našem evklidskem prostoru. Zato velja prvo poglavje knjige Prostor, čas, snov za zibelko evklidskega prostora. V uvodu je razglabljal o času in prostoru kot o eksistenčnih oblikah realnega sveta, o snovi kot njegovi substanci. Večno tekoči čas, skrivnost naše časovne zavesti, je po njegovem osrednje metafizično vprašanje, ki ga poskuša pojasniti in rešiti filozofija, odkar je. Prostor, pravi, pa je že pred starimi Grki postal predmet znanstvene obravnave, ki jo odlikujeta največja jasnost in zanesljivost. Z Einsteinom, je sodil, so se trdni temelji naravoslovja zamajali, vendar le zato, da napravijo prostor za svobodnejši in globlji pogled na stvari. Od tod ni poti nazaj, razvoj znanosti lahko preseže današnje poglede, toda k stari ozki in togi shemi se ne more vrniti več. Iz preprostega zdaj mu zraste čas kot enorazsežni kontinuum, iz prav takšnega tukaj pa se povzpne do pojma prostora. Prostor se doživlja v gibanju, v gibljivosti teles v njem. Že Helmholtz je iskal osnove geometrije v tistih značilnostih prostora, ki jih odražajo gibanja togih teles. Isto togo telo je enkrat tukaj, drugič tam. Ali: togo telo je tukaj, tam pa je temu telesu kongruentno telo. Za kongruentnostjo pa tiči grupa, grupa togih premikov prostora. Potem so mu bili pomembni posebni, vzporedni premiki (translacije). Kako je znotraj grupe vseh premikov moč razpoznati translacije? Napisal je: »Imejmo premik (gibanje) T. Brž ko za vsak par točk A, B najdemo premik, ki preslika A v B in komutira s T, je T translacija. Množica vseh translacij sestavlja komutativno grupo. Zapišimo jo aditivno, superpozicijo označimo z znakom + in jo imenujmo vsoto. Translacija je natanko določena s sliko ene točke. Točka A in njena slika A´ sestavljata urejen par AA´. Urejen par točk povežemo z usmerjeno daljico, ki kaže od A proti A´. Isti translaciji ustreza cela družina daljic AA´, vsaka točka prostora je lahko začetna točka take daljice. Računanje s translacijami spremlja računanje z usmerjenimi daljicami. V translacijah in v usmerjenih daljicah (raje: v ekvivalentnih razredih usmerjenih daljic) lahko vidimo različni popredmetenji iste abstraktne strukture, aditivne grupe vektorjev.« V aditivno grupo vektorjev je uvedel novo operacijo, produkt s številom. Najprej produkt s celim številom:
z m členi, če je m > 0, za negativen m naj bo , za m = 0 pa seveda . Produkt vektorja z recipročno vrednostjo , naj bo vektor , da se bo m členov, enakih , seštelo v vsoto :
Geometrijsko pomeni to, da se da vsaka translacija sestaviti iz m enakih manjših translacij, vsaka daljica razdeliti na m delov. Naslednji korak do produkta z racionalnim številom m/n je jasen. Nazadnje se z zahtevo po zveznosti omogoči še množenje s poljubnim realnim številom. Za geometrijo je torej aditivna translacijska grupa premalo, zveznost terja, naj translacije sestavljajo realni vektorski prostor. Zato je pač Weyl najprej definiral realni vektorski prostor. To je znana, že večkrat ponovljena definicija, nazadnje se jo sreča pri Peanu. V Weylovih časih je bil ta del Peanove ustvarjalnosti pozabljen. Za evklidsko geometrijo je abstraktna in aksiomatska osnova evklidski vektorski prostor, ki ga je Weyl prvi opredelil. V evklidskem prostoru je ob vsoti vektorjev in ob produktu vektorja s skalarjem definirana tretja operacija, skalarni produkt. Skalarni produkt priredi vektorjema in število, ki se ga označi z . Osnovni aksiomi zanj pravijo: Je komutativnen:
je bilinearen in zaradi komutativnosti je dovolj, če je v prvem faktorju:
Je pozitivno definiten:
V evklidskem prostoru se lahko merijo dolžine. Ker je skalarni produkt pozitvno definiten, se lahko koreni in kvadratni koren proglasi za normo vektorja :
Naj se vzameta dva vektorja, in . Pri vsakem je:
Upošteva se, da je skalarni produkt bilinearen in komutativen, pa se lahko levo stran napiše kot kvadratni polinom:
Negativna kvadratna funkcija pa ima nepozitivno diskriminanto, . Od tod Cauchyjeva ocena:
Iz Cauchyjeve ocene izhaja tudi:
Nazadnje:
Kot med vektorjema in definiramo s:
Zaradi Cauchyjeve ocene je definicija smiselna, desna stran leži med -1 in 1, kot velja za kosinus. V posebnem primeru, ko je in , sta vektorja in pravokotna. Lahko se reče: Vektorja in sta pravokotna, če je njun skalarni produkt enak 0: