Transponirana matrika (oznaka , včasih tudi ) je matrika, ki nastane iz matrike pri eni izmed naslednjih enakovrednih operacij: zapišemo vrstice matrike kot stolpce matrike zapišemo stolpce matrike kot vrstice matrike zrcalimo matriko preko glavne diagonale zavrtimo matriko za 90º v smeri gibanja urinega kazalca in zrcalimo sliko vodoravno, da dobimo .
To pomeni da vsi postanejo . Postopek zamenjave vrstic in stolpcev se imenuje transponiranje matrike in je zgled enočlene operacije.
Zgledi
Značilnosti
Za matriki , in skalar so znane naslednje značilnosti transponiranja matrik:
Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.
Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi , v tem primeru je
Transponiranje skalarja nam da isti skalar.
Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.
Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca ( in ) se izračuna kot
kjer je uporabljen Einsteinov zapis za
Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike.
Če je kvadratna matrika, potem so njene lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike.
Posebne transponirane matrike Kvadratna matrika, katere transponirana je enaka sama sebi, je simetrična matrika
Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika. To pomeni da je matrika ortogonalna, če je , kjer je enotska matrika za katero velja
Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika, to pomeni, da je poševnosimetrična, če je
Konjugirano transponirana matrika kompleksne matrike , ki jo zapišemo kot , se dobi s transponiranjem matrike in spremembo vseh elementov v konjugirano kompleksne vrednosti
Zunanje povezave
Kategorija:Matrike