thumb|320px|Matrike, ki opisujejo permutacije 3 elementov. Skupaj 6 (1.2.3 = 3!) permutacij (v vsaki vrstici).V vsakem kvadratu je ena izmed permutacij treh elementov. Permutacijska matrika (oznaka ) je kvadratna matrika, ki ima v vsaki vrstici samo en element enak 1, na ostalih mestih pa ima ničle. Prav tako ima tudi v vsakem stolpcu samo po en element enak 1, ostali pa so 0. Vsaka takšna matrika predstavlja določeno permutacijo elementov. Vsaka permutacija ima svojo permutacijsko matriko. Če permutacijsko matriko pomnožimo z drugo matriko, dobimo permutacije v vrsticah v drugi matriki. Permutacijska matrika je nesigularna, kar pomeni, da njena determinanta ni nikoli enaka 0 (vedno je +1 ali -1).
Permutacijska matrika se vedno dobi s permutacijami enotske matrike. Vsaka enotska matrika je tudi permutacijska matrika.
Definicija
Permutacijo elementov označimo s
To lahko enakovredno zapišemo v posebni obliki, ki jo imenujemo ciklično označevanje permutacij
kjer je v prvi vrstici so napisani vsi elementi, ki jih permutiramo v drugi vrstici so zapisane posamezne vrednosti permutiranih elementov pomeni permutirani element na prvem mestu itd.
Permutacijska matrika z razsežnostjo ima povsod 0, razen v vrstici , kjer ima vrednost 1. To lahko zapišemo kot
kjer je enotski vrstični vektor z dolžino , ki ima enico na -tem mestu, na vseh ostalih mestih pa ima .
Zgled
Ena izmed permutacij štirih elementov je:
Pripadajoča matrika pa je:
.
Permutacijski matriki (dva elementa, ki permutirata) sta:
in:
Zgled permutacijske matrike (štirje elementi, ki permutirajo):
Značilnosti
za dve permutaciji in velja kjer je kompozitum permutacij in permutacijske matrike so ortogonalne, zanje velja : permutacijska matrika spada med stohastične matrike množenje permutacijske matrike s poljubno matriko povzroči permutacijo vrstic v matriki (to je ) množenje poljubne matrike s permutacijsko matriko ima za posledico permutacijo stolpcev v matriki (to je ) obratna vrednost permutacijske matrike je enaka njeni transponirani ali ( je enotska matrika)
Posplošitev permutacijske matrike
Vsota elementov v vsaki vrstici permutacijske matrike je 1. To lahko posplošimo tako, da dovolimo v vsaki vrstici poljubno vsoto. Takšne matrike so vsote permutacijskih matrik.
Zgled Naslednja matrika ima v vsaki vrstici vsoto elementov enako 5:
.
Glej tudi
seznam vrst matrik
Zunanje povezave
Značilnosti permutacijske matrike
Kategorija:Matrike