Tenzorski produkt (oznaka ) se uporablja na zelo različnih področjih povezanih z vektorji, matrikami, tenzorji, algebrami in topološkimi vektorskimi prostori. V vseh primerih pa pomeni bilinearno operacijo. Tenzorski produkt ni komutativen.

Tenzorji

Tenzorji so definirani tako, da jim lahko pripišemo določeno število indeksov. Indeksi so lahko kovariantni (pišemo jih spodaj) ali kontravariantni (pišemo jih zgoraj). Skupno število kovariantnih in kontravariantnih indeksov se imenuje red tenzorja (rang tenzorja), ki pa ni odvisen od števila razsežnosti prostora v katerem opazujemo tenzor. Tenzorji z redom 0 so skalarji, tisti, ki imajo red 1, so vektorji. Vse količine, ki imajo red večji ali enak 2, pa na splošno imenujemo kar tenzorji.

Tenzorski produkt vektorskih prostorov

Tenzorski produkt dveh vektorskih prostorov in nad obsegom se lahko definira z metodo generatorjev in relacij. S tenzorskim produktom dveh vektorskih prostorov dobimo nov vektorski prostor, ki ima razsežnost enako zmnožku razsežnosti posameznih vektorskih prostorov. Podobno dobimo z množenjem celih števil novo celo število.

Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 1 (vektorji)

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 1, ki jih imenujemo vektorji, se določijo posamezne komponente na naslednji način . Za vrednosti je to enako

.

Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 2 (matrike)

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 2, ki so matrike, se določijo posamezne komponente takole

Tenzorski produkt pa lahko zapišemo kot

kjer je Kroneckerjeva delta

Tenzorski produkt dveh tenzorjev

Če sta in dva kovariantna tenzorja potem je njun tenzorski produkt enak .

To pa pomeni, da je tenzorski produkt enak običajnemu zmnožku posameznih komponent vsakega tenzorja.

Zgled: Naj bo tenzor tipa (1,1) s komponentami in naj bo tenzor tipa (1, 0) s komponentami . Potem je in . Tenzorski produkt ohrani vse indeksi tako, kot jih imajo posamezni faktorji.

Kroneckerjev produkt

Tenzorski produkt dveh matrik se imenujemo tudi Kroneckerjev produkt.

Primer:

Tenzorski produkt dveh matrik pa je: .

Tenzorski produkt multilinearne preslikave

Če imamo dve multilinearni preslikavi in je njun tenzorski produkt multilinearna funkcija .

Glej tudi

tenzorski produkt grafov

Zunanje povezave

Tenzorski produkt na PlanethMath Tenzorski produkt vektorskih prostorov Površine tenzorskega produkta Tenzorske operacije

Kategorija:Abstraktna algebra Kategorija:Binarne operacije Kategorija:Multilinearna algebra Kategorija:Tenzorji