Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije, vrtilna matrika ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki .
Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja .
Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.
Matrike vrtenja označujemo z (matrika rotacije).
Vrtenje v dvorazsežnem prostoru
thumb|Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x. thumb|Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi. V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko .
Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z .
Tako dobimo nove koordinate za točko , .
Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je negativen. .
Pogosta vrtenja
Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°: (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev) (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat) (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)
Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika. Vrtenje v trirazsežnem prostoru Osnovna vrtenja Vrtenja okoli koordinatnih osi v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike .
Posplošitev vrtenja
Poljubno vrtenje se dobi s pomočjo množenja matrik.
Značilnosti matrik vrtenja
V trirazsežnem prostoru, kjer je os vrtenja in je kot vrtenja,
(i.e., je ortogonalna matrika
lastne vrednosti so
sled matrike je enaka kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.
kjer je os vrtenja je determinanta enotska matrika () je običajna imaginarna enota za katero velja
Zgledi
Matrika
odgovarja vrtenju za 90° v ravnini
Transponirana matrika matrike 2×2
je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice
Rotacijska matrika 3×3
odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi</li>
Rotacijska matrika 3×3
odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−1⁄3,2⁄3,2⁄3)
Permutacijska matrika 3×3
je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija
Naslednja matrika 3×3
ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja
Matrika 4×3
ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja
Matrika 4×4
predstavlja izoklinsko vrtenje,
Matrika 5×5
je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno
Zunanje povezave
Matrika vrtenja na MathWorld Matrika vrtenja (značilnosti) Matrika vrtenja na Citizendium Matrika vrtenja na MathPages
Kategorija:Matrike Kategorija:Rotacijska simetrija