Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot ). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za .
Definicija
Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z :
Označimo s potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice . Potem velja:
To pa je kardinalnost potenčne množice , če je kardinalnost množice .
Po tej definiciji so:
kardinalnosti naslednjih množic:
To pomeni, da je drugo število bet enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka ). Tretje število bet je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.
Odnos s števili alef
V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med in sledi, da je:
.
To pomeni, da za vsako ordinalno število velja:
Domneva kontinuuma nam da:
Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:
Nekatera kardinalna števila bet Bet nič
Naslednjim množicam pripada kardinalnost :
naravna števila racionalna števila algebrska števila končna množica celih števil
Bet ena
Naslednjim množicam pripada kardinalnost :
transcendentna števila iracionalna števila realna števila kompleksna števila evklidski prostor potenčna množica naravnih števil množica zaporedij celih števil množica zaporedij realnih števil množica zveznih funkcij iz v množica končnih podmnožic realnih števil
Bet dva
Naslednjim množicam pripada kardinalnost :
potenčna množica množice realnih števil potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil množica funkcij iz v () množica funkcij iz v potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe Stone-Čechova kompaktifikacija za , in
Glej tudi
kardinalnost število alef
Zunanje povezave
Število bet na WordiQ
Kategorija:Kardinalna števila Kategorija:Neskončnost