Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.
Definicija
Realna simetrična matrika razsežnosti je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje z realnimi elementi () velja .
Kompleksna matrika z razsežnostjo je pozitivno definitna, če je ℜ(z*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje , kjer z* pomeni konjugirano transponirani vektor in ℜ(c) je realni del števila .
Kompleksna hermitska matrika z razsežnostjo je pozitivno definitna, če je za vse neničelne kompleksne vektorje . Pri tem je vrednost vedno realna.
V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.
Zgledi
Matrika je pozitivno definitna.
Za vektor velja . Če sta ali , realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.
Nasprotno pa matrika
ni pozitivno definitna, ker za vektor
velja .
To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.
Značilnosti
hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p. lastne vrednosti matrike , ki je pozitivno definitna, so pozitivne. naslednje matrike , ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij) zgornji levi kot matrike z razsežnostjo zgornji levi kot matrike z razsežnostjo zgornji levi kot matrike z razsežnostjo …. sama matrika vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika , ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo
kjer je konjugirano transponirana matrika matrike . vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna. če je matrika pozitivno definitna in je realno število, potem je tudi pozitivno definitna matrika
Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem je treba samo zamenjati z in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.
Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika
Hermitska matrika razsežnosti z oznako je negativno definitna, če zanjo velja:
za vse (za realne matrike pa )
Kadar pa velja:
za vse (oziroma za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).
Matrika je negativno semidefinitna, če je:
Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna''.
Glej tudi
pozitivno definitna funkcija seznam vrst matrik
Zunanje povezave
Pozitivna definitnost na PlanethMath Lastnosti pozitivno definitne matrike
Kategorija:Matrike
de:Definitheit#Definitheit von Matrizen