Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.
Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.
Definicija Naj bodo oglišča simpleksa v vektorskem prostoru
in, če za neko točko v velja in najmanj eden izmed ni enak nič,
V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti težiščne koordinate točke glede na .
Oglišča imajo koordinate .
Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak , ki ni enak nič, so tudi težiščne koordinate za . Kadar koordinate niso negativne, točka leži v konveksni ogrinjači za , to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.
Težiščne koordinate v trikotniku thumb|320px|Težiščne koordinate nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.
Imamo definiran trikotnik , ki je določen s tremi oglišči , in . Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot
kjer so težiščne koordinate
Za te koordinate velja omejitev .
Pretvorba v težiščne koordinate Imamo dano točko (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah z uporabo oglišč kot .
Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo
kjer je je vektor težiščnih koordinat vektor v kartezičnih koordinatah matrika, ki ima vrednost .
Ker sta in linearno neodvisna, je matrika obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo .
Iz tega se dobijo težiščne koordinate
.
Težiščne koordinate v tetraedru Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.
Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate .
Tudi tukaj velja
kjer je matrika , ki ima obliko
Posplošeni težiščni koordinatni sistem Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati
kjer so oglišča politopa.
Zunanje povezave Uporaba homogenih težiščnih koordinat v ravninski Evklidski geometriji Zbirka člankov o težiščnem koordinatnem sistemu Težiščni koordinatni sistem
Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Afina geometrija Kategorija:Trikotniki