Uniformni polieder je polieder, ki ima za stranske ploskve pravilne mnogokotnike, ki so prehodni na svojih ogliščih (to pomeni, da obstaja togi premik (izometrija) za preslikavo poljubnega oglišča v drugega). To pomeni tudi, da so vsa oglišča skladna. Poliedri imajo visoko stopnjo zrcalne in rotacijske simetrije.
Uniformni poliedri so lahko: pravilni, če so stranske ploskve in robovi prehodni kvazipravilni, če so robovi prehodni, niso pa prehodne stranske ploskve polpravilni pa so, če robovi niso prehodni, niti stranske ploskve niso prehodne.
Poznamo konveksne: 5 platonskih teles, ki so pravilni poliedri 13 arhimedskih teles od kateri sta 2 kvazipravilna in 11 polpravilnih
in zvezdne poliedre od katerih so: 4 Kepler-Poinsotov polieder, ki so pravilni nekonveksni poliedri 53 uniformni zvezdni polieder od katerih je 5 kvazipravilnih in 48 polpravilnih 1 zvezdni polieder, ki ga je našel ameriški gradbenik in arhitekt John Skilling (1921–1998).
Znanih je tudi neskončno število uniformnih prizmatičnih in antiprizmatičnih oblik med katerimi so konveksne in zvezdne oblike.
Dualni poliedri uniformnih poliedrov imajo prehodne stranske ploskve ali lahko rečemo tudi, da so izoedrski. Imajo tudi pravilne slike oglišč ter jih tako razvrstimo skupaj z dualnimi uniformnimi poliedri. Dualno telo pravilnega poliedra je tudi pravilen. Dualna telesa arhimedskih teles pa pravimo, da so Catalanova telesa.
Razvoj
Platonska telesa so poznali že v Antični Grčiji. Proučevali so jih že Platon (427 pr. n. št–437 pr. n. št., Teetet (417 pr. n. št.–369 pr. n. št.) in Evklid (okoli 365 pr. n. št.–275 pr. n. št.). Johannes Kepler (1571–1630) je bil prvi, ki je objavil popoln seznam arhimedskih teles kmalu za tem, ko je bilo prvotno delo Arhimeda izgubljeno.
Pravilni zvezdni poliedri: Kepler je odkril še dva pravilna Kepler-Poinsotova poliedra. Pozneje (v letu 1809) je Louis Poinsot (1777–1859) odkril še dva.
Ostalih 53 nepravilnih zvezdnih poliedrov Od ostalih 53 jih je v letu 1881 Albert Badoureau odkril še 36, Edmund Hess (1843–1903) je odkril še dva in Pitch (1930–1932) jih je neodvisno v letu 1881 odkril še 18, vendar odkritja ni objavil, od teh jih je bilo 15 že prej odkritih. Geometer H.S.M. Coxeter (1907–2003) je odkril še preostalih dvanajst v sodelovanju z J. C. P. Millerjem (1930–1932), kar pa ni bilo objavljeno. M. S. in H. C. Lonquet-Higgins sta jih neodvisno odkrila še 11. Coxeter, Lonquet-Higgins in Miller so v letu 1954 objavili seznam uniformnih poliedrov Sopov je dokazal. Da je njihov seznam popoln. Leta 1970 je v knjigi Polyhedron models (Modeli poliedrov), ki prikazuje vseh 75 neprizmatičnih uniformnih poliedrov, od katerih jih mnogo prej še ni bilo objavljenih. Imena pa jim je dal Norman Johnson (rojen 1930). Skilling (1921–1998) http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/278/1278/111 je v letu 1975 preveril to trditev in pokazal, da takrat, ko se sprosti definicijo toliko, da se omogoči tudi hkratnost robov in se s tem dobi še eno možnost za telo. V letu 1993 je Zvi Har'El pripravil popolno kalejdoskopsko konstrukcijo za uniformne poliedre in njihove duale s pomočjo računalniškega programa, ki se je imenoval Kaleido. Vse je združil v dokumentu Uniform Solution for Uniform Polyhedra, kjer je oštevilčil oblike s številkami od 1 do 80. Prav tako je v letu 1993 R. Mäder prenesel to Kaleido rešitev v program Mathematica z drugačnim načinom številčenja. V letu 2002 je Peter W. Messer odkril najmanjšo množico zaprtih oblik izrazov, ki določajo glavne in metrične količine za vsak uniformni polieder, dane s samo Wythoffovim simbolom Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Peter W. Messer, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002).
Uniformni zvezdni poliedri
57 neprizmatičnih nekonveksnih oblik se dobi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in s pomočjo Schwarzevih trikotnikov
Konveksne oblike po Wythoffovi konstrukciji
Konveksne uniformne poliedre lahko imenujemo po operacijah Wythoffove konstrukcije.
Podrobnejši načini Wythoffove konstrukcije so podani spodaj za vsako simetrijsko grupo posebej.
Z Wythoffovo konstrukcijo se dobijo ponovitve, ki nastanejo zaradi oblike z najnižjo simetrijo. Kocka in kvadratna prizma sta pravilna poliedra. Oktaeder in tristrana antiprizma sta tudi pravilna poliedra. Oktaeder je rektificirani tetraeder. Mnogi poliedri so ponovitve začetnih različnih konstrukcij in se jih različno obarva.
Wythoffova konstrukcija se lahko uporabi za uniformne poliedre in uniformno tlakovanje na sferi. Zaradi tega so prikazane slike obeh možnosti. Sferno tlakovanje vključuje hozoedre in diedre, ki pa so degenerirani poliedri.
Te simetrijske grupe nastajajo iz zrcalnih točkovnih grup v treh razsežnostih. Vsako lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (p q r), kjer je p>1, q>1, r>1 in 1/p+1/q+1/r<1. tetraedrska simetrija (3 3 2) red 24 oktaedrska simetrija (4 3 2) red 48 ikozaedrska simetrija (5 3 2) red 120 diedrska simetrija (n 2 2) za vse n = 3,4,5.... red 4n
Ostale nezrcalne oblike se lahko konstruira s pomočjo operacije alternacije, ki jo uporabimo za poliedre s parnim številom stranic.
Razen vseh prizem z diedrsko simetrijo nam lahko postopek Wythoffove konstrukcije doda še dva pravilna razreda, ki pa postaneta izrojena kot poliedra. To sta dieder in hozoeder. Prvi ima samo dve stranski ploskvi, drugo pa samo dve oglišči. Prisekanje hozoedra nam da prizmo.
V spodnjem pregledu imajo uniformni poliedri oznake (indekse) od 1 do 18 za neprizmatične oblike, ker so predstavljeni v pregledih s simetrijsko obliko. Ponovljene oblike so v oklepajih.
Neskončna množica prizmatičnih oblik je označena s štirimi družinami: hozoedri H2... samo kot sferno tlakovanje diedri D2... samo kot sferno tlakovanje prizme P2... antiprizme A3...
Skupna preglednica
Johnsonovo imeStarševsko teloPrisekanoRektificiranoBiprisekanoBirektificiranoKanteliranoOmniprisekano(kantiprisekano)PrirezanoRazširjenSchläflijev simbolt0{p,q}t0,1{p,q}t1{p,q}t1,2{p,q}t2{p,q}t0,2{p,q}t0,1,2{p,q}s{p,q}Wythoffov simbolp-q-2 q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2Coxeter-Dinkinov diagramSlika ogliščapq(q.2p.2p)(p.q.p.q)(p. 2q.2q)qp(p. 4.q.4)(4.2p.2q)(3.3.p. 3.q)tetraedrska3-3-264px{3,3}64px(3.6.6)64px(3.3.3.3)64px(3.6.6)64px{3,3} 64px(3.4.3.4)64px(4.6.6)64px(3.3.3.3.3)oktaedrska4-3-264px{4,3}64px(3.8.8)64px(3.4.3.4)64px(4.6.6)64px{3,4}64px(3.4.4.4)64px(4.6.8)64px(3.3.3.3.4)ikozaedrska5-3-264px{5,3}64px(3.10.10)64px(3.5.3.5)64px(5.6.6)64px{3,5}64px(3.4.5.4)64px(4.6.10)64px(3.3.3.3.5)
in primeri diedrskih simetrij:
(p 2 2)Starševsko teloPrisekanoRektificiranoBiprisekanoBirektificiranoKanteliranoOmniprisekano(kantiprisekano)PrirezanoRazširjenSchläflijev simbolt0{p,2}t0,1{p,2}t1{p,2}t1,2{p,2}t2{p,2}t0,2{p,2}t0,1,2{p,2}s{p,2}Wythoffov simbol 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2Coxeter-Dinkinov diagramSlika ogliščap2(2.2p.2p)(p. 2.p. 2)(p. 4.4)2p(p. 4.2.4)(4.2p.4)(3.3.p. 3.2)diedrska(2 2 2) 64px{2,2} 2.4.4 64px2.2.2.2 4.4.2 64px{2,2} 2.4.2.4 64px4.4.4 64px3.3.3.2diedrska(3 2 2) 64px{3,2} 64px2.6.6 2.3.2.3 64px4.4.3 64px{2,3} 2.4.3.4 64px4.4.6 64px3.3.3.3diedrska(4 2 2) {4,2} 2.8.8 2.4.2.4 64px4.4.4 64px{2,4} 2.4.4.4 64px4.4.8 64px3.3.3.4diedrska(5 2 2) {5,2} 2.10.10 2.5.2.5 64px4.4.5 {2,5} 2.4.5.4 64px4.4.10 64px3.3.3.5diedrska(6 2 2) 64px{6,2} 64px2.12.12 64px2.6.2.6 64px4.4.6 64px{2,6} 64px2.4.6.4 64px4.4.12 64px3.3.3.6
Operatorji za Wythoffovo konstrukcijo
320px320pxZgledi za oblike od kocke do oktaedra
OperacijaRazširjeniSchläflijevi simboliCoxeter-DinkinovdiagramOpisStarševsko telo t0{p,q} za poljubni pravilni polieder ali tlakovanje Rektifikacija t1{p,q} Robovi so popolnima prirezani v točke. Poliedri imajo kombinirane stranske ploskve svojega starševskega telesa in njegovega duala.Birektifikacijatudi dual t2{p,q} 100px|right Birektificiranost (tudi za dual) je nadaljevanje prisekanja tako, da so prvotne stranske ploskve zmanjšane do točk. Nove stranske ploskve nastanejo pod vsakim starševskim ogliščem. Število robov ostane nespremenjeno in se zavrti za 90º. Dualno telo pravilnega poliedra {p, q} je tudi pravilni polieder {q, p}.Prisekanost t0,1{p,q} Vsako prvotno oglišče je odrezano, z nastankom nove stranske ploskve se izpopolni praznina. Prisekanje ima prostostno stopnjo, ki ima rešitev za kreiranje uniformnega prisekanega poliedra. Polieder ima svoje prvotne stranske ploskve podvojene ter vsebuje stranske ploskve duala.400pxBiprisekanost t1,2{p,q} isto kot prisekani dual. Kanteliranost(ali rombiranost)(tudi razširjenost) t0,2{p,q} Razen prisekanja oglišč je vsak prvotni rob nagnjen zaradi novega pravokotne stranske ploskve, ki se pojavi namesto njega. Uniformna kantelacija je približno na polovici med starševsko in dualno obliko.400pxOmniprisekanost(ali kantiprisekanost) t0,1,2{p,q} Prisekanost in kantelacija sta uporabljeni skupaj, da bi ustvarili omniprisekano obliko, ki podvoji stranice stranskih ploskev starševskega telesa in podvoji stranice stranskih ploskev ter kvadratov, kjer so bili prvotni robovi.Prirezanost s{p,q} Prirezane oblike zavzamejo omniprisekanost in pri tem rektificirajo vsako drugo oglišče. (ta operacije je možna samo, če ima polieder parno število stranskih ploskev) Vse prvotne stranske ploskve končajo tako, da dobimo samo polovico stranic, kvadrati pa se izrodijo v robove. Ker ima omniprisekana oblika 3 stranske ploskve/oglišče nastanejo novi trikotniki. Pogosto je to izmenično facetiranje popačeno, tako, da se konča kot uniformni poliedri. Možnost kasnejših sprememb je odvisna od stopnje prostosti.400px
(3 3 2) Td tetraedrska simetrija
Tetraedrska simetrija sfere generira 5 uniformnih poliedrov in šesto obliko s pomočjo operacije prirezovanja.
Tetraedrsko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika z enim ogliščem s tremi zcali, ki jih prikažemo s simbolom (3 3 2). Lahko jih tudi prikažemo s Coxeterjevo grupo A2 or [3,3] in seveda s Coxeter-Dinkinovim diagramom: .
Obstaja 24 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah tetrakisnega heksaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi: 100px 100px100px
#ImeGrafA3GrafA2SlikaTlakovanjeOgliščslikaCoxeter-Dinkinov diagramin Schläflijevi simboliŠtevilo stranskih ploskev po položajuŠtevilo elementov položaj 2(4) položaj 1(6) položaj 0(4) Stranske ploskve Robovi Oglišča1tetraeder (tet)50px50px50px50px50px{3,3} 30px{3} 4 6 4birektificiran tetraeder (tet)(isto kot tetraeder)50px50px50px50px50pxt2{3,3} 30px{3} 4 6 42rektificiran tetraeder (oct)(isto kot oktaeder)50px50px50px50px50pxt1{3,3} 30px{3} 30px{3} 8 12 63prisekani tetraeder (tut)50px50px50px50px50pxt0,1{3,3} 30px{6} 30px{3} 8 18 12biprisekani tetraeder (tut)(isto kot prisekani tetraeder)50px50px50px50px50pxt1,2{3,3} 30px{3} 30px{6} 8 18 124kanteliran tetraeder (co)(isto kot kubooktaeder)50px50px50px50px50pxt0,2{3,3} 30px{3} 30px{4} 30px{3} 14 24 125omniprisekani tetraeder (toe)(isto kot prisekani oktaeder)50px50px 50px50px50pxt0,1,2{3,3} 30px{6} 30px{4} 30px{6} 14 36 246prirezana kocka (ike)(isto kot ikozaeder)50px50px 50px 50px50pxs{3,3} 30px{3} 20px20px2 {3} 30px{3} 20 30 12
(4 3 2) Oh oktaedrska simetrija
Oktaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še tri z alternacijo. Štirje od teh oblik so ponovitve tetraedrske simetrije iz preglednice zgoraj.
Oktaedrsko simetrijo se lahko prikaže s pomočjo osnovnega trikotnika (4 3 2) tako, da se upošteva zrcala na vsakem oglišču. Lahko se jih prikaže tudi kot Coxeterjevo grupo B2 ali [4,3] in kot Coxeter-Dinkinov diagram: .
Obstaja 48 trokotnikv, ki se jih vidi na stranskih ploskvah disdiakisnega dodekaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikov na sferi: 100px 100px100px