Schwarzev trikotnik je sferni trikotnik s pomočjo katerega se lahko tlakuje sfero.
Imenuje se po nemškem matematiku Hermanu Amandusu Schwarzu (1843–1921).
Schwarzev trikotnik se predstavi s tremi racionalnimi števili v obliki (p q r) kjer vsako število predstavlja kot v oglišču. Vrednost n/d pomeni, da je kot v oglišču n/d-ti del polovice kroga. Vrednost 2 pomeni pravi kot. Kadar števila niso ulomki, se trikotnik imenuje Möbiusov trikotnik, ki odgovarja neprikrivajočemu tlakovanju. Simetrijska grupa se imenuje trikotniška grupa.
Prostor rešitev
Osnovna domena trikotnika (p q r) lahko obstaja v različnih prostorih, kar je odvisno od omejitev:
: sferni : evklidska ravnina : hiperbolična ravnina
Grafični prikaz
Schwarzev trikotnik se lahko prikaže s trikotniškim grafom. Vsak vozel predstavlja rob Schwarzevega trikotnika. Vsak rob je označen z racionalnim številom, ki odgovarja zaporedju zrcaljenja, je enak π/kot ob oglišču
280px Schwarzev trikotnik (p q r) na sferi.Slika:Schwarz triangle graph.svg Graf Schwarzevega tikotnika Robovi reda 2 predstavljajo pravokotna zrcala, ki se jih lahko izpusti na tej sliki. Coxeter-Dinkinov diagram prikazuje trikotniški graf z robovi reda 2, ki so prikriti.
Za Coxeterjevo grupo se lahko uporabi enostavnejši zapis kot je (p q r) za ciklični graf in (p q 2)=[p, q] (za prave kote) ter (p 2 2) = [p] x [].
Seznam Schwarzevih trikotnikov Möbiusovi trikotniki na sferi 120px(2 2 2) ali [2,2] 120px(3 2 2) ali [3,2] ... 120px(3 3 2) ali [3,3] 120px(4 3 2) ali [4,3] 120px(5 3 2) ali [5,3]
Schwarzevi trikotniki za sfero po gostoti
V nadaljevanju so našteti Schwarzevi trikotniki razvrščeni po gostoti (politopski gostoti):
gostota Schwarzev trikotnik 1(2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n) d(2 2 n/d) 2(3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3) 3(2 3/2 3), (2 5/2 5) 4(3 4/3 4), (3 5/3 5) 5(2 3/2 3/2), (2 3/2 4) 6(3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5) 7(2 3 4/3), (2 3 5/2) 8(3/2 5/2 5) 9(2 5/3 5) 10(3 5/3 5/2), (3 5/4 5) 11(2 3/2 4/3), (2 3/2 5) 13(2 3 5/3) 14(3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4) 16(3 5/4 5/2) 17(2 3/2 5/2) 18(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2) 19(2 3 5/4) 21(2 5/4 5/2) 22(3/2 3/2 5/2) 23(2 3/2 5/3) 26(3/2 5/3 5/3) 27(2 5/4 5/3) 29(2 3/2 5/4) 32(3/2 5/45/3) 34(3/2 3/2 5/4) 38(3/2 5/4 5/4) 42(5/4 5/4 5/4)
Trikotniki za evklidsko ravnino 120px(3 3 3) 120px(4 4 2) 120px(6 3 2)
Gostota 1: (3 3 3) – 60-60-60 (enakostranični trikotnik) (4 4 2) – 45-45-90 (enakokraki pravokotni trikotnik) (6 3 2) – 30-60-90
Trikotniki po gostotah: gostota 0: (4 4/3 ∞), (3 3/2 ∞), (6 6/5 ∞) gostota 1: (4/3 4/3 2), (4/3 4 2), (6 3/2 2) gostota 2: (6/5 3 2), (6 6 3/2), (6 6/5 3)
Trikotniki za hiperbolično ravnino 120px(7 3 2) 120px(8 3 2) 120px(5 4 2) 120px(4 3 3) 120px(4 4 3) 120px(∞ ∞ ∞)Fundamentalne domene triukotnikov (p q r) Gostota 1: (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞) (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞) (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞) (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞) (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞) (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞) (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞) ... (∞ ∞ ∞)
Trikotnik (2 3 7) je najmanjši hiperbolični Schwarzev trikotnik.
Trikotnik (2 3 8) lahko tlakuje Bolzovo ploskev, ki je visoko simetrična ploskev z rodom enakim 2.
Glej tudi
Wythoffov simbol Wythoffova konstrukcija uniformni polieder gostota politopa Goursatov tetraeder pravilno hiperbolično tlakovanje uniformno tlakovanje v hiperbolični ravnini
Zunanje povezave
Schwarzev trikotnik na WolframAlpha
Kategorija:Sferna trigonometrija Kategorija:Poliedri