Notacija orbifold je v geometriji sistem, ki pomaga prikazovati simetrijske grupe v dvorazsežnem prostoru, ki ima konstantno ukrivljenost. Prednost te vrste notacije je v tem, da opisuje te grupe na način, ki označuje mnoge značilnosti grup.

Notacijo je izumil ameriški matematik William Thurston (rojen 1946), populariziral pa jo je angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937).

Definicija notacije

Naslednje vrste evklidskih transformacij so možne v grupi, ki jo opisuje notacija orbifold: zrcaljenje preko premice (ali ravnine) translacija s pomočjo vektorja vrtenje končnega reda okoli točke neskončno vrtenje okoli premice v trirazsežnem prostoru zrcaljenje-drsenje (to je zrcaljenje, ki mu sledi translacija

Vse translacije, ki nastopajo, sestavljajo nezvezno podgrupo grup simetrije.

Vsaka grupa je v notaciji orbifold označena s končnim zaporedjem znakov, ki so lahko pozitivna cela števila znak za neskončnost zvezdica, * znak znak

Znaki, zapisani v mastnem tisku predstavljajo simetrijsko grupo v evklidskem trirazsežnem prostoru.

Vsak znak pripada drugi transformaciji: celo število n na levi strani zvezdice označuje vrtenje reda n okoli točke celo število n desno od zvezdice je transformacija reda 2n , ki pomeni vrtenje okoli točke in zrcaljenje preko premice (ali ravnine) x pomeni zrcaljenje z drsenjem znak pomeni neskončno vrtilno simetrijo preko premice; pojavi se lahko samo za mastno zapisane grupe. Lahko rečemo, da so te grupe podgrupe simetrij v evklidski ravnini s samo eno neodvisno translacijo. Frizijske grupe nastopajo na ta način. posebni znak o označuje, da sta natanko dve linearno neodvisni translaciji.

Kiralnost in akiralnost Objekt je kiralen, če njegova grupa simetrije ne vsebuje zrcaljenja. V nasprotnem primeru je akiralen. Pripadajoči orbifold je orientabilen v primeru kiralnosti, sicer pa je neorientabilen.

Eulerjeva karakteristika Eulerjeva karakteristika orbifolda se lahko prebere iz Conwayjevega simbola. Vsak znak ima svoj pomen : n brez ali pred njo šteje kot n za zvezdico šteje kot zvezdica in x šteje kot 1 šteje kot 2

Z odštevanjem vsote teh vrednosti od 2 dobimo Eulerjevo karakteristiko.

Če je vsota tega enaka 2, je red neskončen. To pa pomeni, da notacija predstavlja tapetno ali frizijsko grupo.

Enake grupe Naslednje grupe so izomorfne: 1* in *11 22 in 221 *22 in *221 2* in 2*1

Drugi objekti Simetrija dvorazsežnih objektov brez translacijske simetrije se lahko opiše z vrsto trirazsežne simetrije z dodajanjem tretje razsežnosti tako, da ne doda ali odstrani simetrijo.

120px Prava snežinka ima simetrijo *66. 120px petkotnik ima simetrijo *55, celotna slika s puščicami pa 55.180px Zastava Hong Konga ima 5 kratno simetrijo vrtenja, 55.

Pripadajoče tabele

Sferni thumb|simetrija 532

+ grupe sferne simetrije: (n=3,4,..)Symmetries of Things, Dodatek A, stran 416oznaka orbifoldCoxeterSchönfliesHermann–MauguinOrderpoliederska grupa*532[3,5]Ih53m120532[3,5]+I53260*432[3,4]Ohm3m48432[3,4]+O43224*332[3,3]Td3m243*2[3+,4]Thm324332[3,3]+T2312diedrska in ciklične grupe: n=3,4,5...*22n[2,n]Dnhn/mmm ali 2m24n2*n[2+,2n]Dnd22m ali m4n22n[2,n]+Dnn22n*nn[n]Cnvnm2nn*[2,n+]Cnhn/m ali 22nnx[2+,2n+]S2n2 ali 2nnn[n]+Cnnnposebni primeri*222[2,2]D2h2/mmm ali 2m282*2[2+,4]D2d22m ali m8222[2,2]+D2224*22C2v2m42*[2,2+]C2h2/m ali 242x[2+,4+]S42 ali 422+C222*221[1,2]D1h1/mmm ali 2m242*1[2+,2]D1d22m ali m4221[1,2]+D1122*11[ ]C1v1m21*[2,1+]C1h1/m ali 221x[2+,2+]S22 ali 211[ ]+C111

Evklidska ravnina

Frizijske grupe

+ Frizijske grupenotacijeopiszglediIUC orbifoldCoxeterSchönflies*p1∞∞[∞,1]+C∞Samo translacije. Ta grupa se generira posamezno, z generatorjem, ki je najmanjša razdalja v kateri se vzorec še ponavlja. Abstraktna grupa: Z, grupa celih števil pod seštevanjem.200pxp11g∞x[∞+,2+]S∞Drsenje-zrcaljenje in translacije. Ta grupa se generira z drsnim zrcaljenjem skupaj s translacijami, ki so kombinacije dveh drsnih zrcaljenj. Abstraktna grupa: Zp11m∞*[∞+,2]C∞hTranslacije v horizontalni smeri in drsno zrcaljenje. Ta grupa se generira s translacijo in zrcaljenjem v horizontalni osi. Abstraktna grupa: Z × Z2p1m1*∞∞[∞,1]C∞vTranslacije in zrcaljenje vzdolž vertikalnih črt. Ta grupa je ista kot netrivialna grupa v enorazsežnem primeru.Generirana je s translacijo in zrcaljenjem v vertikalni osi. Elementi v tej grupi odgovarjajo izometrijam (ali enakovredno bijektivnim afinim transformacijam) množice celih števil in je tako izomorfna množici polneposrednih produktov s celimi števili z Z2. Abstraktna grupa: Dih∞, neskončna diedrska grupa.p222∞[∞,2]+D∞Translacije in vrtenja za 180°. Grupa se generira s translacijo in vrtenjem za 180° . Abstraktna grupa: Dih∞p2mg2*∞[∞,2+]D∞dZrcaljenje preko določenih vertikalnih črt, drsno zrcaljenje, translacije in vrtenja. Translacije v tem primeru nastanejo z drsnim zrcaljenjem. Ta grupa se generira z drsnim zrcaljenjem ali vrtenjem ali vertikalnim zrcaljenjem. Abstraktna grupa: Dih∞ p2mm*22∞[∞,2]D∞hTranslacije, drsno zarcaljenje, zrcaljenje v obeh oseh in vrtenja za 180°. Ta grupa je "največja" frizijska grupa in potrebuje tri generatorje z eno skupino generatojev, ki so sestavljeni iz translacije in zrcaljenja v horizontalni osi in zrcaljenja preko vertikalne osi. Abstraktna grupa: Dih∞ × Z2*Schönfliesova notacija točkovne grupe je tukaj razširjena kot neskončni primer ekvivalenta diedrskih točkovnih simetrij.

Tapetne grupe thumb|simetrija 632

+ 17 tapetnih grupSymmetries of Things, dodatek A, stran 416oznakaorbifoldCoxeterHermann–MauguinSpeiserNiggliPolyaGuggenheinFejes TothCadwell*632[6,3]p6mC(I)6vD6W16632[6,3]+p6C(I)6C6W6*442[4,4]p4mC(I)4D*4W144*2[4+,4]p4gCII4vDo4W24442[4,4]+p4C(I)4C4W4*333[3]p3m1CII3vD*3W133*3[6,3+]p31mCI3vDo4W23333[3]+p3CI3C3W3*2222[∞,2,∞]pmmCI2vD2kkkkW222*22[∞,2+,∞]cmmCIV2vD2kgkgW1222*[(∞,2)+,∞]pmgCIII2vD2kkggW3222x[∞+,2+,∞+]pggCII2vD2ggggW422222[∞,2,∞]+p2C(I)2C2W2**[∞,2,∞+]pmCIsD1kkW21*x[∞,2+,∞+]cmCIIIsD1kgW11xx[(∞,2)+,∞+]pgCII2D1ggW31o[∞+,2,∞+]p1C(I)1C1W1

Hiperbolična ravnina thumb|simetrija 732

Prvih nekaj hiperboličnih grup, urejenih po njihovih orbifold značilnostih je:

+ Hiperbolične simetrijske grupeSymmetries of Things, poglavje 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, stran 239(-1/znak)orbifoldCoxeter(84)*237[7,3](48)*238[8,3](42)237[7,3]+(40)*245[5,4](24)*2.3.12, *246, *334, 3*4, 238[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+(20)*2.3.15, *255, 5*2, 245[15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+(18+2/3)*247[7,4](18)*2.3.18, 239[18,3], [9,3]+(16)*2.3.24, *248[24,3], [8,4](15)*2.3.30, *256, *335, 3*5, 2.3.10[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+(14+2/5)*2.3.36, *249[36,3], [9,4](13+1/3)*2.3.60, *2.4.10[60,3], [10,4](13+1/5)*2.3.66, 2.3.11[66,3], [11,3]+(12+8/11)*2.3.105, *257[105,3], [7,5](12+4/7)*2.3.132, *2.4.11 ... *23∞, *2.4.12, *266, 6*2[132,3], [11,4], ..., [∞,3], [12,4], [6,6], [6+,4](12)*336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2.3.12, 246, 334[(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], ... [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+...

Opombe in sklici

Zunanje povezave Vodič po mnogoterostih 2DTiler, program za prikazovanje dvorazsežnega tlakovanja v ravnini

Kategorija:Teorija grup Kategorija:Posplošene mnogoterosti Kategorija:Matematična notacija