Хилбертов простор је математички концепт који генерализује еуклидски простор. У њему се методе векторске алгебре и анализе из еуклидске равни и еуклидског тродимензионалног простора проширују на простор са коначним или бесконачним бројем димензија. Добио је име по Давиду Хилберту.
Хилбертов простор се често појављује у математици, физици и инжењерству, типично као пресликавања бесконачног броја димензија.
Геометријске аналогије имају велики значај у разумевању теорије Хилбертових простора. За њих постоји еквивалентна Питагорина теорема и закон паралелограма.
Дефиниција
Хилбертов простор над пољем -{F}- у ознаци -{H}-(-{F}-) је векторски простор (над пољем -{F}-) са скаларним производом, потпун у односу на метрику -{d}-2.Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић , приступљено: 19. октобар 2014.
Особине
Хилбертов простор -{H}- је реалан или комплексан векторски простор који је истовремено и Кошијев метрички простор у односу на метричку функцију векторског производа. Какда кажемо да је -{H}- комплексни векторски простор, то значи да у H постоји производ 〈x,y〉 који пару елемената -{x}-,-{y}- из -{H}-, придружује комплексну вредност, при чему је: 〈y,x〉 је конјугован комплексан број од 〈x,y〉:
〈x,y〉 је линеарна по првом аргументу. За све комплексне бројеве -{a}- и -{b}-,
Производ је позитивна билинеарна форма:
где знак једнакости важи за x = 0. Реални векторски простор се дефинише на исти начин, осим што векторски производ има реалне вредности.
Интензитет вектора дефинише се као производ 〈•,•〉 у облику реалне функције:
а растојање између тачака -{x,y}- у -{H}- дефинише се помоћу интензитета на следећи начин:
Ово је функција метрике, што значи да (1) да је симетрична по -{x}- и -{y}-, (2) да је растојање између -{x}- и -{x}- нула, а да су остала растојања између -{x}- и -{y}- позитивна, (3) да важи неједнакост троугла, што значи да дужина странице -{a}- у троуглу -{xyz}- не може бити дужа од збира преостале две странице:
Последња особина је последица Коши-Шварцове неједнакости која тврди да:
где знак једнакости важи када су -{x}- и -{y}- линеарно зависни.
Када се функција удаљености дефинише на овај начин, као функција метрике, онда векторски простор постаје пре-Хилбертов простор. Сваки копмплетан пре-Хилбертов простор је Хилбертов простор. Комплетност се дефинише условом: ако за низ вектора важи апсолутно конвергира тако да
тада низ конвергира у -{H}-, у смислу да парцијалне суме теже неком елементу -{H}-.
Као Кошијеви нормирани простори, Хилбертови простори су по дефиницији и Банахови простори. Они су и тополошки векторски простори у којима су дефинисаани тополошки појмови отворених и затворених подскупова.
Апсолутна конвергенција
Низ који се састоји из вектора у -{F}-3 (где је -{F}- поље), апсолутно конвергира под условом да конвергира , тј. да је Такав низ конвергира ка неком вектору -{L}- у простору над пољем -{F}-, и то тако да важи: када
Слаба конвергенција
Низ слабо конвергира ка вектору ако за свако бројни низ конвергира ка .
Еуклидски простор
Еуклидски простор (-{R}-3) је Хилбертов простор који се састоји из тродимензионалних вектора у коме је дефинисан оператор производа. Оператор производа узима два вектора -{x}- и -{y}- као аргументе и као резултат даје реалан број -{x·y}-.
Оператор производа задовољава следеће услове: Симетричан је у односу на -{x}- и -{y}-: -{x·y}- = -{y·x}-. Линеаран је у односу на први аргумент: (-{ax'}-1 + -{bx'}-2)·-{y}- = -{ax'}-1·-{y}- + -{bx'}-2·-{y}- за било које скаларе -{a, b}- и векторе -{x}-1, -{x}-2 и -{y}-. То је позитивна билинеарна форма: за све векторе -{x}-, -{x·x}- ≥ 0, где знак једнакости важи ако и само ако је -{x}- = 0.
Операција над паром вектора која задовољава ова три услова се назива скаларно множење вектора. Сваки векторски простор са коначним бројем димензија у коме је дефинисан скаларни производ представља Хилбертов простор. Карактеристика горедефинисаног оператора множења која га повезује са еуклидском геометријом је што зависи и од дужине (или интензитета) вектора, који се означава са ||-{x}-||, и од угла θ између вектора -{x}- и -{y}-. Та зависност се изражава формулом:
Специјално, ако су -{x}- и -{y}- представљени у Декартовим координатама, онда се оператор производа дефинише као:
Сепарабилан Хилбертов простор
Теорема: Хилбертов простор је сепарабилан акко садржи пребројиви ортонормирани скуп.
Референце
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937. . . . . . . . . . . . . . .
Спољашње везе Хилбертов простор на -{Mathworld}-
-{245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao}-
Категорија:Давид Хилберт Категорија:Линеарна алгебра Категорија:Квантна механика Категорија:Функционална анализа