thumb|250px|Детаљ из Рафаелове Атинске школе са грчким математичарем – који можда представља Еуклида или Архимеда – користећи шестар за цртање геометријске конструкције.
Еуклидова геометрија је геометрија изграђена на аксиомама апсолутне геометрије и Еуклидовом аксиому („петом постулату“) о паралелним правама: кроз тачку А која не лежи на правој а, у равни која је одређена тачком А и правом а, може се повући само једна права која не сече праву а. Иако су многи Еуклидови резултати већ раније били наведени,. Еуклид је био први који је организовао ове тврдње у логички систем у коме се сваки резултат доказује из аксиома и претходно доказаних теорема..
Еуклидову геометрију често називају елементарна геометрија. Геометрију која се изучава у средњој школи такође називају Еуклидова геометрија и то је у вези с чињеницом да је њену прву систематску изградњу изложио старогрчки геометар Еуклид у 3. веку п. н. е. у својој књизи Елементи (в. Еуклидови Елементи). Елементи почињу геометријом равни, која се још увек учи у средњој школи као први аксиоматски систем и први примери математичких доказа. Затим се прелази на чврсту геометрију три димензије. Велики део Елемента наводи резултате онога што се данас назива алгебра и теорија бројева, објашњене геометријским језиком.
Прва геометрија различита од Еуклидове геометрије била је геометрија Лобачевског, коју је изградио велики руски математичар Лобачевски. Више од две хиљаде година, придев „еуклидски“ је био непотребан, јер су Еуклидови аксиоми изгледали толико интуитивно очигледни (са могућим изузетком паралелног постулата) да су се теореме доказане из њих сматрале апсолутно тачним, и стога ниједна друга врста геометрије није била могућа. Данас су, међутим, познате многе друге самодоследне нееуклидске геометрије, од којих су прве откривене почетком 19. века. Импликација опште теорије релативности Алберта Ајнштајна је да сам физички простор није еуклидски, а еуклидски простор је добра апроксимација за њега само на малим удаљеностима (у односу на јачину гравитационог поља).Misner, Thorne, and Wheeler (1973),
Површина сфере Површина сфере је другачија репрезентација нееуклидске геометрије. Ако највеће кругове сфере сматрамо правама њихова геометрија ће задовољавати све аксиоме како Еуклидове, тако и геометрије Лобачевског осим аксиоме паралелности. Велики кругови сфере се увек секу.
Елиптички аксиом Елиптички аксиом: Кроз тачку која не лежи на датој правој не пролазе ниједна права која с датом правом лежи у истој равни и не сече ову праву. Последица 1: Три тачке које леже на правама, великим круговима сфере, формирају троугао чији је збир углова већи од 180°. Последица 2: Повећањем троугла расте његов збир унутрашњих углова. Последица 3: Однос обима и пречника круга мањи је од π.
Геометрије без аксиоме паралелности назива се Риманова геометрија, или Апсолутна геометрија.
Логичка основа
Класична логика
Еуклид је често користио метод доказивања противречношћу, те стога традиционално представљање Еуклидове геометрије претпоставља класичну логику, у којој је сваки исказ било тачан или нетачан, тј. за било који предлог П, предлог „П или не П” аутоматски је тачно.
Савремени стандарди ригорозности
Постављање еуклидске геометрије на чврсту аксиоматску основу била је преокупација математичара вековима.A detailed discussion can be found in. Улогу примитивних појмова, или недефинисаних концепата, јасно је изнео Алесандро Падоа из Пеанове делегације на конференцији у Паризу 1900. године:
Односно, математика је знање neзависно од контекста у хијерархијском оквиру. Као што је рекао Бертранд Расел:
Такви се темељни приступи крећу између фундаментализма и формализма.
Види још Нееуклидска геометрија
Референце
Литература
In 3 vols.: vol. 1 , vol. 2 , vol. 3 . Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.}- . -{, UK edn. Allen Lane, 1992.}-
A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, Coxeter, H. S. M., (1942) , Toronto
Lobachevsky, Nikolai I., , Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, /hbk Milnor, John W., (1982) . . .
. , Springer (2005) James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) , MSRI Publications, volume 31.
(1999)
Спољашње везе
-{Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)}-
Категорија:Геометрија