У линеарној алгебри, и посебно у областима физике које је користе, Ајнштајнова нотација или сумациона конвенција је конвенција у математичкој нотацији при којој се подразумева, осим уколико није експлицитно другачије напоменуто, сумација по индексима који су поновљени, па се симбол за суму изоставља. У општем случају, када се ради о коваријантним и контраваријантним величинама, сумација се подразумева по поновљеним горњим (контраваријантним) и доњим (коваријантним) индексима. Конвенција је добила име по Алберту Ајнштајну који ју је увео 1916. године у раду у коме је изложио основе опште теорије релативности како би упростио нотацију операција са тензорима. Забележена је анегдота у којој се Ајнштајн нашалио у писму једном пријатељу:
Дефиниција Често јавља случај када се сумирају променљиве по индексу који се понавља па је економично изоставити знак за сумацију:
У овој форми, где се ради о оба доња индекса, може се применити у општем случају када се ради о било каквој сумацији, мада то није уобичајено, већ се ова конвенција користи углавном када се сумирају компоненте тензора па се онда мора водити рачуна о начину на који се те компоненте трансформишу при промени базиса. Тада се коваријантне компоненте пишу са доњим индексом, а контраваријантне са горњим индексом, па правило у овом случају предвиђа да се подразумева сумирање само по поновљеном горњем и доњем индексу:
Ова разлика се може игнорисати једино када се ради у простору над пољем реалних бројева са фиксираним базисом, па се тада могу користити само доњи индекси.
Примери Уколико је дат базис векторског простора , вектор -{x}- у том базису може да се репрезентује бројном колоном чији су елементи координате вектора
Тада вектор -{x}- може да се изрази преко векторског збира базисних вектора помножених координатама, што у Ајнштајновој нотацији има облик
што би, у уобичајеној нотацији вектора као збира скалираних базисних вектора и игноришући контраваријантност координата, било
Стандардни скаларни производ вектора -{x}- и -{y}-, у апсолутном базису, у Ајнштајновој нотацији је
где су αi и βi координате вектора -{x}- и -{y}-, или уопштено за произвољан базис у унитарном простору
где је метрички тензор, a звездица означава комплексно конјугован број. Конвенционално написано, ово у ствари значи
где је скаларни производ -{i}--тог и -{j}--тог базисног вектора.
Ако је дата матрица са -{m}- врста и -{n}- колона, елемент матрице се може означити као где горњи индекс означава -{i}--ту врсту, а доњи -{j}--ту колону. Матрично множење се тада може компактно изразити као
Види још Диракова нотација
Референце
Литература
Спољашње везе -{Einstein Summation}- на -{Wolfram MathWorld}- -{Einstein rule}-, -{SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics}-
Категорија:Линеарна алгебра Категорија:Тензори Категорија:Општа теорија релативности Категорија:Математичка физика Категорија:Математичка нотација Категорија:Риманова геометрија Категорија:Алберт Ајнштајн